魔术球问题
之前听过但是忘了（雾）
重新学习了一发。整理如下。
我们需要用到一些二分图相关的前提知识。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。
完美匹配：一个图中所有的点都存在于匹配集合中。所以完美匹配一定是最大匹配。
二分图一定有最大匹配而不一定存在完美匹配。
点覆盖：对于每条边的两个端点至少有一个在被覆盖集合中。
结论：最小点覆盖=最大匹配
独立集：集合内任意两个点没有边相连。
结论：最大独立集=顶点数-最小点覆盖
边覆盖：每个点都是集合内边的端点。
结论：最小边覆盖=顶点数-最大匹配
整理一下，在二分图中
1.对于不存在孤立点的图，最大匹配+最小边覆盖=顶点数；
2.最大独立集+最小顶点覆盖=顶点数；
以上是二分图的前提芝士qwq（怎么还没开始正题吖）
终于到了我们这个题我们要用到的东西啦！DAG的最小路径覆盖
路径覆盖：找若干条简单不相交路径，图上每个点都在其中至少一条路径上
我们对于每一个点拆成入点和出点，建立一个二分图。
原图中如果存在边(i,j)那么在二分图中连接(xi,yj)就可以了。
最小路径覆盖=原图点数-最大匹配（其实就是最小边覆盖啊因为是二分图qwq）
注意这个地方的顶点是原图中的顶点
所以对于这个题来说的话。我们可以把小球抽象成顶点，编号小的球向编号大的球连边（需要满足和是完全平方数）。一根柱子就是一条路径覆盖。n个柱子要覆盖所有的点，所以最后求得的解就是一个n条路径的覆盖。
最小路径覆盖的条数是递增的所以我们可以枚举答案（不二分的原因在于二分需要重新构图）求最小路径覆盖直到>n即可。
这个题要求输出路径，在增广的时候加上记录后继，然后新的柱子压到栈里最后输出就ok啦qwq
附代码。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#define inf 20021225
#define maxn 110000
using namespace std;
struct edge{int to,lt,f;}e[maxn];
int in[maxn],cnt=1,dis[maxn],s,t,n,m;
bool vis[maxn];
queue<int> que;
int nxt[maxn];
void addedge(int x,int y,int f)
{
e[++cnt].lt=in[x];e[cnt].to=y;e[cnt].f=f;in[x]=cnt;
e[++cnt].lt=in[y];e[cnt].to=x;e[cnt].f=0;in[y]=cnt;
}
bool bfs()
{
memset(dis,0,sizeof(dis));
memset(vis,0,sizeof(vis));
dis[s]=1;que.push(s);vis[s]=1;
while(!que.empty())
{
int x=que.front();que.pop();
for(int i=in[x];i;i=e[i].lt)
{
if(e[i].f&&!vis[e[i].to])
{
vis[e[i].to]=1;
dis[e[i].to]=dis[x]+1;
que.push(e[i].to);
}
}
}
return dis[t]!=0;
}
int dfs(int x,int cur)
{
if(x==t) return cur;
int flow=0;
for(int i=in[x];i;i=e[i].lt)
{
int y=e[i].to;
if(dis[y]==dis[x]+1&&e[i].f)
{
int tmp=dfs(y,min(e[i].f,cur-flow));
if(tmp>0) nxt[x>>1]=(y>>1);
e[i].f-=tmp;e[i^1].f+=tmp;flow+=tmp;
if(flow==cur) return flow;
}
}
dis[x]=0;
return flow;
}
int dinic()
{
int w,tmp=0;
while(bfs())
//printf("QAQ");
while(w=dfs(s,inf))
tmp+=w;
return tmp;
}
stack<int> st;
int main()
{
scanf("%d",&n);
int ans=0,tmp=0;s=0;t=1;
for(m=1;tmp<=n;m++)
{
addedge(s,m<<1,1);
addedge(m<<1|1,t,1);
for(int i=1;i<m;i++)
{
int tmp=sqrt(i+m);
if(tmp*tmp==i+m)
addedge(i<<1,m<<1|1,1);
}
int w=dinic();
if(!w) st.push(m);
ans+=w;tmp=m-ans;//printf("%d
",tmp);
//printf("%d
",ans);
}
printf("%d
",m-2);st.pop();
memset(vis,0,sizeof(vis));
while(!st.empty())
{
int x=st.top();st.pop();
if(vis[x]) continue;
vis[x]=1;
while(x) printf("%d ",x),x=nxt[x],vis[x]=1;
printf("
");
}
return 0;
}