考场上的我猜测到了某个题是二项式反演 可惜我不会啊
分治NTT给了60的暴力 然而他们的分治NTT都能跑1e6/dk
回归正题
二项式反演大概就是关于二项式的反演（废话）
一般来说 初始状态都是状压的0/1状态 然后它们有很好的性质 与具体哪一位的状态无关 所以可以直接记录1的个数
又因为反演≈容斥 所以它的两个基本形式就很好看了
$f(n) = sum_{i=0} ^ n (-1)^i inom{n}{i} g(i) Leftrightarrow g(n) = sum_{i=0} ^n (-1)^i inom{n}{i} f(i)$
一般这个柿子用不到（吧 因为很少上来就是个容斥形式
$f(n) = sum _{i=0} ^n inom{n}{i} g(i) Leftrightarrow g(n)=sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} inom{n}{i} f(i)$
一般是这个柿子比较有用qwq
具体证明自行百度吧（~~其实就是我懒~~
例题
[HAOI2016] 染色
其实这个题完全可以不用二项式反演直接容斥 也间接性证明了反演的本质就是容斥
考虑恰好为S有k个的限制 按照套路转化为至少有k个为S
设所求函数为G(x) 容斥函数为F(x)
容斥函数可直接计算$F(x) = inom{m}{x} (m-i)^{n-ix} frac{(sx)!}{(x!)^s (n-ix)!}$
然后直接套上上边的容斥就可以了
最后NTT优化即可
以前的代码（反正最后柿子推出来是一样的）
//Love and Freedom. #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #include<cstring> #define ll long long #define inf 20021225 #define mdn 1004535809 #define N 300010 #define G 3 using namespace std; int rev[N<<2],inv,jc[N*100],iv[N*100],n,m,s,w[N]; int ksm(int bs,int mi) { int ans=1; while(mi) { if(mi&1) ans=(ll)ans*bs%mdn; bs=(ll)bs*bs%mdn; mi>>=1; } return ans; } int pre(int n) { int lim=1,l=0; while(lim<n) lim<<=1,l++; for(int i=1;i<lim;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)); inv=ksm(lim,mdn-2); return lim; } void ntt(int *a,int lim,int opt) { for(int i=1;i<lim;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]); for(int k=2,mid=1;k<=lim;k<<=1,mid<<=1) { int Wn=ksm(G,(mdn-1)/k); if(opt) Wn=ksm(Wn,mdn-2); for(int w=1,i=0;i<lim;w=1,i+=k) for(int j=0;j<mid;j++,w=(ll)w*Wn%mdn) { int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+mid+j]%mdn; a[i+j]=(x+y)%mdn; a[i+mid+j]=(x-y+mdn)%mdn; } } if(opt) for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%mdn; } int h[N],f[N],ans[N]; int top; int main() { scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); for(int i=0;i<=m;i++) scanf("%d",&w[i]); top=min(n/s,m); jc[0]=iv[0]=1; int tt=max(n,m); for(int i=1;i<=tt;i++) jc[i]=(ll)jc[i-1]*i%mdn; iv[tt]=ksm(jc[tt],mdn-2); int qwq=1; for(int i=tt;i;i--) iv[i-1]=(ll)iv[i]*i%mdn; for(int i=0;i<=top;i++) f[i]=(ll)jc[m]*iv[m-i]%mdn*jc[n]%mdn*iv[n-i*s]%mdn*qwq%mdn*ksm(m-i,n-i*s)%mdn,qwq=(ll)qwq*iv[s]%mdn; for(int i=0;i<=top;i++) h[i]=(ll)(mdn+((i&1)?-1:1)*iv[i])%mdn; for(int i=0;i<=(top>>1);i++) swap(h[i],h[top-i]); int lim=pre((top+1)<<1);// printf("%d ",lim); ntt(h,lim,0); ntt(f,lim,0); for(int i=0;i<lim;i++) ans[i]=(ll)h[i]*f[i]%mdn; ntt(ans,lim,1); int fin=0; for(int i=0;i<=top;i++) fin=(ll)(fin+(ll)ans[top+i]*w[i]%mdn*iv[i]%mdn)%mdn; printf("%d ",fin); return 0; }
[CTS2019] 珍珠
论考试前一天晚上刚好看到原题的几率 可惜没看懂
考虑有多少颜色是奇数
直接做的话显然是
$G(i) = (frac{e^x + e^{-x}}{2})^i (frac{e^x - e^{-x}}{2})^{n-i}$
而且还要求n!
发现n1e9/px
于是就是二项式反演了
$F(i) = n^i e^{(D-i)x}$
我们进一步拆开括号画柿子
$F(i)= frac{1}{2^i} sum_{j=0}^i inom{i}{j} n![x^n]e^{jx-(i-j)x} e^{(D-i)x}$
$F(i)=frac{1}{2^i}sum_{j=0}^i inom{i}{j} n![x^n]e^{(D-2i+2j)x}$
$F(i)=frac{1}{2^i}sum_{j=0}^i inom{i}{j} (D-2i+2j)^n$
典型的卷积形式 NTT优化掉就可以了
反演直接带进柿子里继续NTT一下就好了
（吐槽一句 毒瘤出题人把n开到了[0,1e18] 于是还要特判0/px)
啊 这个题懒得再回去写了 直接丢考场的加强代码吧x
//Love and Freedom. #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdio> #define inf 20021225 #define ll long long #define N 600010 #define mdn 998244353 #define G 3 using namespace std; ll read() { ll f=1,s=0; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar(); return f*s; } int fac[N],inv[N]; void upd(int &x,int y){x+=x+y>=mdn?y-mdn:y;} int C(int n,int m){return n<m?0:1ll*fac[n]*inv[m]%mdn*inv[n-m]%mdn;} int ksm(int bs,ll mi) { int ans=1; if(!bs) return !mi?1:0; mi%=(mdn-1); while(mi) { if(mi&1) ans=1ll*ans*bs%mdn; bs=1ll*bs*bs%mdn; mi>>=1; } return ans; } int n,m; ll q,k; int r[N]; int init(int n) { int l=0,lim=1; while(lim<n) lim<<=1,l++; for(int i=0;i<lim;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1); return lim; } void ntt(int *a,int lim,int f) { for(int i=0;i<lim;i++) if(r[i]>i) swap(a[r[i]],a[i]); for(int k=2,mid=1;k<=lim;k<<=1,mid<<=1) { int Wn=ksm(G,(mdn-1)/k); if(f) Wn=ksm(Wn,mdn-2); for(int w=1,i=0;i<lim;i+=k,w=1) for(int j=0;j<mid;j++,w=1ll*w*Wn%mdn) { int x=a[i+j],y=1ll*w*a[i+mid+j]%mdn; a[i+j]=(x+y)%mdn; a[i+mid+j]=(mdn+x-y)%mdn; } } if(f) for(int kinv=ksm(lim,mdn-2),i=0;i<lim;i++) a[i]=1ll*a[i]*kinv%mdn; } int tmp[N],g[N],f[N]; void solve(int *a,int n) { memset(g,0,sizeof(g)); memset(f,0,sizeof(f)); for(int i=0;i<=n;i++) g[i]=inv[i],f[i]=1ll*(i&1?mdn-inv[i]:inv[i])*ksm((n-2*i+mdn)%mdn,q)%mdn; int lim=init(n+1<<1); ntt(g,lim,0); ntt(f,lim,0); for(int i=0;i<lim;i++) g[i]=1ll*g[i]*f[i]%mdn; ntt(g,lim,1); for(int i=0;i<=n;i++) g[i]=1ll*ksm(2,(mdn-1-i)%mdn)*fac[i]%mdn*g[i]%mdn; for(int i=0;i<=n;i++) g[i]=1ll*g[i]*fac[i]%mdn*C(n,i)%mdn,f[i]=i&1?mdn-inv[i]:inv[i]; for(int i=n+1;i<lim;i++) f[i]=g[i]=0; reverse(f,f+n+1); ntt(g,lim,0); ntt(f,lim,0); for(int i=0;i<lim;i++) a[i]=1ll*g[i]*f[i]%mdn; ntt(a,lim,1); for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=1ll*a[i+n]*inv[i]%mdn; } int pre[N],h[N],l[N]; int qry(int l,int r){return l>r?0:l?(pre[r]-pre[l-1]+mdn)%mdn:pre[r];} int main() { //freopen("qwq.txt","w",stdout); n=read(),m=read(),q=read(),k=read(); //printf("%lld %lld ",q,k); int top=max(n,m); fac[0]=1; for(int i=1;i<=top;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mdn; inv[top]=ksm(fac[top],mdn-2); for(int i=top;i;i--) inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mdn; solve(h,n); solve(l,m); int ans=0; pre[0]=l[0]; for(int i=1;i<=m;i++) pre[i]=pre[i-1],upd(pre[i],l[i]); for(int i=0;i<=n;i++) { int fm=n-2*i; ll fz=k-1ll*m*i; if(!fm) { if(1ll*m*i<=k) upd(ans,1ll*h[i]*qry(0,m)%mdn); } else if(fm<0) { ll top=ceil((long double)fz/fm); top=max(top,0ll); if(top<=m) upd(ans,1ll*h[i]*qry(top,m)%mdn); } else { ll top=floor((long double)fz/fm); top=min(top,(ll)m); if(top>=0) upd(ans,1ll*h[i]*qry(0,top)%mdn); } } printf("%d ",ans); return 0; }
[CTS2019] 随机立方体
8会 先鸽着（不咕不咕 今天就写x）
写了可是题解懒得写了
差不多看看吧 还挺好理解的（雾）
//Love and Freedom. #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #include<cstdio> #define inf 20021225 #define ll long long #define mdn 998244353 #define N 5000100 using namespace std; int read() { int f=1,s=0; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar(); return f*s; } int ksm(int bs,int mi) { int ans=1; while(mi) { if(mi&1) ans=1ll*ans*bs%mdn; bs=1ll*bs*bs%mdn; mi>>=1; } return ans; } int f[N],fac[N],inv[N],n=N-1,m,l; int F(int k){return (1ll*n*m%mdn*l%mdn-1ll*(n-k)*(m-k)%mdn*(l-k)%mdn+mdn)%mdn;} int C(int n,int m){return n<m?0:1ll*fac[n]*inv[m]%mdn*inv[n-m]%mdn;} int W(int k){return 1ll*C(n,k)*C(m,k)%mdn*C(l,k)%mdn*fac[k]%mdn*fac[k]%mdn*fac[k]%mdn;} int min(int x,int y,int z){return min(x,min(y,z));} int max(int x,int y,int z){return max(x,max(y,z));} void calcf() { int top=min(n,m,l); f[0]=1; int all=1; for(int i=1;i<=top;i++) all=1ll*F(i)*all%mdn; all=ksm(all,mdn-2); f[top]=all; //printf("%d ",all); for(int i=top;i;i--) { f[i-1]=1ll*F(i)*f[i]%mdn;//puts("GG"); } for(int i=0;i<=top;i++) f[i]=1ll*f[i]*W(i)%mdn; } void init() { int top=max(n,m,l); fac[0]=1; for(int i=1;i<=top;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mdn; inv[top]=ksm(fac[top],mdn-2); for(int i=top;i;i--) inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mdn; } void upd(int &x,int y){x+=x+y>=mdn?y-mdn:y;} int main() { int T=read(); init(); while(T--) { n=read(),m=read(),l=read(); int ans=0,k=read(); calcf(); int top=min(n,m,l); for(int i=k;i<=top;i++) upd(ans,1ll*((i-k)&1?mdn-1:1)*C(i,k)%mdn*f[i]%mdn); printf("%d ",ans); } return 0; }
发现有两道sb题没放 刚好再推下柿子
集合计数
定义$f(k)$为交集元素恰好$k$个，$g(k)$为交集元素至少$k$个
显然有$g(n)=sum_{k=n}^N inom{k}{n}f(k)$
二项式反演得$f(n) = sum_{i=n}^N (-1)^{k-n}g(k)inom{k}{n}$
考虑求$g(n)=2^{2^{N-n}}$也就是钦定$n$个位置，剩下的随便选。
于是就做完了
//Love and Freedom. #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdio> #define inf 20021225 #define ll long long #define N 2000100 #define mdn 1000000007 using namespace std; int read() { int f=1,s=0; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar(); return f*s; } int fac[N],inv[N]; int ksm(int bs,int mi,int md) { int ans=1; while(mi) { if(mi&1) ans=1ll*ans*bs%md; bs=1ll*bs*bs%md; mi>>=1; } return ans; } int C(int n,int m){return 1ll*fac[n]*inv[m]%mdn*inv[n-m]%mdn;} int main() { int n=read(),k=read(); fac[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mdn; inv[n]=ksm(fac[n],mdn-2,mdn); for(int i=n;i;i--) inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mdn; int ans=0; for(int i=k;i<=n;i++) ans=(ans+1ll*((i-k)&1?mdn-1:1)*C(n,i)%mdn*C(i,k)%mdn*(ksm(2,ksm(2,n-i,mdn-1),mdn)-1+mdn)%mdn)%mdn; printf("%d ",ans); return 0; }
已经没有什么好害怕的了
还是类似定义$f(k)$为恰好有$k$个糖果比药片大$g(k)$为至少有$k$个糖果比药片大
然后我们把药片和糖果一起排序 然后直接dp就好了
//Love and Freedom. #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdio> #define inf 20021225 #define ll long long #define N 2010 #define mdn 1000000009 using namespace std; int read() { int f=1,s=0; char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar(); return f*s; } int f[N][N],ida[N],idb[N],a[N],b[N],val[N<<1]; int fac[N],inv[N],cnt[N],pre[N<<1]; void upd(int &x,int y){x+=x+y>=mdn?y-mdn:y;} int ksm(int bs,int mi) { int ans=1; while(mi) { if(mi&1) ans=1ll*ans*bs%mdn; bs=1ll*bs*bs%mdn; mi>>=1; } return ans; } int C(int n,int m){return n<m?0:1ll*fac[n]*inv[m]%mdn*inv[n-m]%mdn;} int main() { int n=read(),k=read(); fac[0]=1; if((n+k)&1) return puts("0"),0; k=(n+k)>>1; for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),val[i]=a[i]; for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mdn; inv[n]=ksm(fac[n],mdn-2); for(int i=n;i;i--) inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mdn; for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read(),val[n+i]=b[i]; //puts("GG"); sort(val+1,val+n+n+1); int top=2*n;//unique(val+1,val+n+n+1)-val-1; for(int i=1;i<=n;i++) ida[i]=lower_bound(val+1,val+top+1,a[i])-val,idb[i]=lower_bound(val+1,val+top+1,b[i])-val; for(int i=1;i<=n;i++) pre[idb[i]]++; for(int i=1;i<=top;i++) pre[i]+=pre[i-1]; sort(ida+1,ida+n+1); for(int i=0;i<=n;i++) f[i][0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) upd(f[i][j],1ll*f[i-1][j-1]*max(pre[ida[i]]+1-j,0)%mdn),upd(f[i][j],f[i-1][j]); int ans=0;// puts("GG"); for(int i=k;i<=n;i++) upd(ans,1ll*((i-k)&1?mdn-1:1)*f[n][i]%mdn*fac[n-i]%mdn*C(i,k)%mdn); printf("%d ",ans); return 0; }