快速幂

问题 A: a^b

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题目描述

求 a 的 b 次方对 p 取模的值，其中 1≤a,b,p≤10^9

输入

三个用空格隔开的整数a,b和p。

输出

一个整数，表示a^b mod p的值。

样例输入

2 3 9

样例输出

8

#include <iostream>

using namespace std;

long long mypow(long long a,long long b,long long p)
{

    long long ans = 1;
    long long base = a;

    while(b!=0)
    {
        if(b%2!=0)
        {
            ans*=base;
            ans%=p;
        }
        base*=base;
        base%=p;
        b/=2;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    long long int a,b,p;
    cin>>a>>b>>p;

    cout<<mypow(a,b,p)%p;
    return 0;
}

以下转载于 https://www.cnblogs.com/lca1826/p/6748372.html

快速幂

b==11时，a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

11的二进制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我们将a¹¹转化为算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) ，看出来快的多了吧原来算11次，现在算三次.

由于是二进制，很自然地想到用位运算这个强大的工具： &  和 >> ，&运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶，x&1==1为奇。>>运算比较单纯,二进制去掉最后一位，不多说了，先放代码再解释。

<1>.二进制写法

1    0   1    1

a^8 *   a^2 * a^1 = a^11

int poww(int a,int b)

{      

int ans=1,base=a; 

       while(b!=0)

{         

if(b&1!=0)  //b的最后一位不为0

{

ans*=base; 

}

         　　base*=base; 

          b>>=1; 

 　   }

      return ans;

 }

以b==11为例，b=>1011,二进制从右向左算，但乘出来的顺序是 a^(2^0) * a^(2^1)  * a^(2^3)，是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘，以便随时对ans做出贡献。

　　其中要理解base*=base这一步，看：：：base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然后同理  base^4 * base4 = base^8 ,,,,, see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指数正是 2^i 啊，再看上面的例子，a¹¹ =  a^(2^0) * a^(2^1) * a^(2^3)，这三项是不是完美解决了，，嗯，快速幂就是这样。

 

<2>.一般写法

long long ksm(long long a,long long b) //快速幂a的b次{

    long long ans=1;

    while(b>0)

    {

        if(b%2==1)ans*=a,ans%=mod;

        a*=a;

        a%=mod;

        b/=2;

    }

    return ans;

}