Sumdiv(较难数学题)

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Description

Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 9901).

Input

The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by blanks.

Output

The only line of the output will contain S modulo 9901.

Sample Input

2 3

Sample Output

15

Hint

2^3 = 8. 
The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15. 
15 modulo 9901 is 15 (that should be output). 

 

//题意：给出 A,B 问 A^B 的所有因数(包括 1 和本身)之和余 9901 的值

这道题用了很多个数学的方法,一个个讲

首先，我们要知道怎么分解一个数,所以用到了<唯一分解定理>: 任何大于１的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积

将 A 分解后，将所有质数个数乘 B 就是 A^B 的该质数的个数了.

代码:

void Zhi()
{
    int t = a;
    for (int i=2;i*i<=a;i++)
    {
        if (t%i==0)
        {
            p[z]=i;
            p_n[z]=1;
            t/=i;
            while (t%i==0)
            {
                p_n[z]++;
                t/=i;
            }
            z++;
        }
        if (t==1) break;
        if (i!=2)
            i++;//2.3.5.7.9...
    }
    if (t!=1)//本身就是质数
    {
        p[z]=t;
        p_n[z]=1;
        z++;
    }
}

 

为什么要分解呢，因为要求约数和

<约数和公式>

对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)

有 A 的所有因子之和为

   S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+…+p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

但是，使用这个公式不能用等比求和公式，因为我们要求余，等比数列求和公式求余就错了

所以用到了二分求等比数列和

 用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n：

（1）若n为奇数,一共有偶数项，则：
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

   上式中加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式，在后面就说快速幂。

（2）若n为偶数,一共有奇数项,则:
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

   上式加粗的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解

前提是要用到<同余模公式>

(a+b)%m=(a%m+b%m)%m

(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

还有<快速幂>

应该不难，看看代码能懂

int Mi(int a, int b)//快速幂
{
    int res = 1;
    a %= MOD;
    while (b)
    {
        if (b%2==1)
            res = (res * a)%MOD;
        a = (a * a)%MOD;
        b /= 2;
    }
    return res;
}

好了，递归二分代码

int Erfen(int p , int n)//求 1 + p + p^2 + p^3+ ... +p^n
{
    if (n==0) return 1;
    if (n%2==1)
        return ((Mi(p,n/2+1)+1)  * Erfen(p,n/2))%MOD;
    else
        return ((1+Mi(p,n/2+1)) * Erfen(p,n/2-1) + Mi(p,n/2))%MOD;
}

上总代码:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>

using namespace std;

#define MOD 9901

int a,b,z;
int p[10000];   //质数
int p_n[10000];//质数个数

void Zhi()
{
    int t = a;
    for (int i=2;i*i<=a;i++)
    {
        if (t%i==0)
        {
            p[z]=i;
            p_n[z]=1;
            t/=i;
            while (t%i==0)
            {
                p_n[z]++;
                t/=i;
            }
            z++;
        }
        if (t==1) break;
        if (i!=2)
            i++;//2.3.5.7.9...
    }
    if (t!=1)//本身就是质数
    {
        p[z]=t;
        p_n[z]=1;
        z++;
    }
}

int Mi(int a, int b)//快速幂
{
    int res = 1;
    a %= MOD;
    while (b)
    {
        if (b%2==1)
            res = (res * a)%MOD;
        a = (a * a)%MOD;
        b /= 2;
    }
    return res;
}

int Erfen(int p , int n)//求 1 + p + p^2 + p^3+ ... +p^n
{
    if (n==0) return 1;
    if (n%2==1)
        return ((Mi(p,n/2+1)+1)  * Erfen(p,n/2))%MOD;
    else
        return ((1+Mi(p,n/2+1)) * Erfen(p,n/2-1) + Mi(p,n/2))%MOD;
}

int main()
{
    while (scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
    {
        z=0;//质数个数
        Zhi();

        int ans = 1;
        for (int i=0;i<z;i++)
        {
            ans = (ans * Erfen(p[i],p_n[i]*b))%MOD;
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}