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  • 阮老师谈泊松分布

    泊松分布与美国枪击案

     

    作者: 阮一峰

    日期: 2013年1月 8日

    去年12月,美国康涅狄格州发生校园枪击案,造成28人死亡。

    资料显示,1982年至2012年,美国共发生62起(大规模)枪击案。其中,2012年发生了7起,是次数最多的一年。

    去年有这么多枪击案,这是巧合,还是表明美国治安恶化了?

    前几天,我看到一篇很有趣的文章,使用"泊松分布"(Poisson distribution),判断同一年发生7起枪击案是否巧合。

    让我们先通过一个例子,了解什么是"泊松分布"。

    已知某家小杂货店,平均每周售出2个水果罐头。请问该店水果罐头的最佳库存量是多少?

    假定不存在季节因素,可以近似认为,这个问题满足以下三个条件:

    (1)顾客购买水果罐头是小概率事件。

    (2)购买水果罐头的顾客是独立的,不会互相影响。

    (3)顾客购买水果罐头的概率是稳定的。

    在统计学上,只要某类事件满足上面三个条件,它就服从"泊松分布"。

    泊松分布的公式如下:

    P(X=k)=frac{e^{-lambda}lambda^k}{k!}

    各个参数的含义:

    P:每周销售k个罐头的概率。

    X:水果罐头的销售变量。

    k:X的取值(0,1,2,3...)。

    λ:每周水果罐头的平均销售量,是一个常数,本题为2。

    根据公式,计算得到每周销量的分布:

    从上表可见,如果存货4个罐头,95%的概率不会缺货(平均每19周发生一次);如果存货5个罐头,98%的概率不会缺货(平均59周发生一次)。

    现在,我们再回过头,来看美国枪击案。

    假定它们满足"泊松分布"的三个条件:

    (1)枪击案是小概率事件。

    (2)枪击案是独立的,不会互相影响。

    (3)枪击案的发生概率是稳定的。

    显然,第三个条件是关键。如果成立,就说明美国的治安没有恶化;如果不成立,就说明枪击案的发生概率不稳定,正在提高,美国治安恶化。

    根据资料,1982--2012年枪击案的分布情况如下:

    计算得到,平均每年发生2起枪击案,所以 λ = 2 。

    上图中,蓝色的条形柱是实际的观察值,红色的虚线是理论的预期值。可以看到,观察值与期望值还是相当接近的。

    我们用"卡方检验"(chi-square test),检验观察值与期望值之间是否存在显著差异。

    卡方统计量 = Σ [ ( 观察值 - 期望值 ) ^ 2 / 期望值 ]

    计算得到,卡方统计量等于9.82。查表后得到,置信水平0.90、自由度7的卡方分布临界值为12.017。因此,卡方统计量小于临界值,这表明枪击案的观察值与期望值之间没有显著差异。所以,可以接受"发生枪击案的概率是稳定的"假设,也就是说,从统计学上无法得到美国治安正在恶化的结论。

    但是,也必须看到,卡方统计量9.82离临界值很接近,p-value只有0.18。也就是说,对于"美国治安没有恶化"的结论,我们只有82%的把握,还有18%的可能是我们错了,美国治安实际上正在恶化。因此,这就需要看今后两年中,是否还有大量枪击案发生。如果确实发生了,泊松分布就不成立了。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/haore147/p/4986706.html
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