经典《编程珠玑》

第8章算法设计技术中一维模式识别实例，书中举出了5种不同的解法，解法不断优化，不断的变得高效，不断得变得更优雅，看完感触良深。

 

【问题描述】

输入n个数的序列，输出这n个数的任意连续子序列的最大和。在这里我们假设序列的数都为整数（包括正和负）
如序列： 31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84 从[2..6]的总和187为最大

【解法一：穷举法】
最简单的方法，穷举法：即对所有满足0 <= i <= j < n 的(i, j)整数对进行迭代。对于每个整数对，程序都要计算x[i..j]的总和，并检验该总和是否大于迄今为止的最大总和。 其PHP实现如下：

<?php
/**
 * 一维模式识别算法一，穷举法
 * @package test
 */
function maxsofar($seq) {
    $maxsofar = 0;
    $len = count($seq);
 
    for ($i = 0; $i < $len; $i++) {
        for ($j = $i; $j < $len; $j++) {
            $sum = 0;
            for ($k = $i; $k <= $j; $k++) {
                $sum += $seq[$k];
            }
            if($sum > $maxsofar) {
                $maxsofar = $sum;
            }
        }
    }
    return $maxsofar;
}
 
$seq = array(31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84);
echo maxsofar($seq);
die();

　　

算法一优点是非常清晰明了，一眼就看出其思路，并且实现简单。
但是其时间复杂度为O(n的立方)，如果数据量稍微大一点，整个程序的效率将会巨慢。

【解法二：】
x[i..j]的总和与前面已计算的总和x[i..j-1]密切相关，即x[i..j] = x[i..j-1] + x[j]
于是我们有了解法二。如下所示PHP代码：

<?php
/**
 * 一维模式识别算法二，穷举法的优化算法，将时间复杂度变为n的平方
 * @package test
 */
function maxsofar($seq) {
    $maxsofar = 0;
    $len = count($seq);
 
    for ($i = 0; $i < $len; $i++) {
        $sum = 0;
        for ($j = $i; $j < $len; $j++) {
            $sum += $seq[$j];
 
            if($sum > $maxsofar) {
                $maxsofar = $sum;
            }
        }
    } 
    return $maxsofar;
}
 
$seq = array(31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84);
echo maxsofar($seq);
die();

　　

【解法三：预处理】
同样是根据x[i..j]的总和与前面已计算的总和x[i..j-1]密切相关，即x[i..j] = x[i..j-1] + x[j]
不过我们使用另外一种表示：预处理数据，计算cumarr[i] = x[0..i]，则x[i..j] = cumarr[j] – cumarr[i - 1]
然后再如解法二一样遍历比较，算出最大的值。如下所示代码：

<?php
/**
 * 一维模式识别算法三，穷举法的优化算法，将时间复杂度变为n的平方
 * @package test
 */
 
function maxsofar($seq) {
    $maxsofar = 0;
    $len = count($seq);
 
    /* 预处理数据 */
    $cumarr[-1] = 0;
    for ($i = 0; $i < $len; $i++) {
        $cumarr[$i] = $cumarr[$i - 1] + $seq[$i];
    }
 
    for ($i = 0; $i < $len; $i++) {
        for ($j = $i; $j < $len; $j++) {
            $sum = $cumarr[$j] - $cumarr[$i - 1];
 
            if($sum > $maxsofar) {
                $maxsofar = $sum;
            }
        }
    } 
    return $maxsofar;
}
 
$seq = array(31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84);
echo maxsofar($seq);
die();

　　

【解法四：分治算法】
分治原理：要解决规模为n的问题，可递归地解决两个规模近似为n/2的子问题，然后对它们的答案进行合并以得到整个问题的答案。
首先创建两个子序列a和b,然后递归找出a,b中元素总和最大的子向量，分别称为ma和mb，也许我们可能找到最后的解了，可是也有可能答案所在的子序列一部分在ma，一部分在mb，对于这种跨越边界的序列我们将其称之为mc。
我们的分治算法将递归地计算ma和mb，并通过其它方法计算mc，然后返回3个总各和中的最大者。其PHP实现如下：

<?php
/**
 * 一维模式识别算法四，分治算法
 * @package test
 */
 
function maxsofar($seq, $left, $right) {
    if($left > $right) {
        return 0;   //  已没有元素 递归返回
    }
 
    if($left == $right) {
        return max(0, $seq[$left]); //  只有一个元素，返回这个元素与0之间的较大值
    }
 
    $middle = floor(($left + $right) / 2);
 
    /* 左边从中间开始的最大子序列和 */
    $lmax = $sum = 0;
    for($i = $middle; $i >= $left; $i--) {
        $sum += $seq[$i];
        $lmax = max($lmax, $sum);
    }
 
    /* 右边从中间开始的最大子序列和 */
    $rmax = $sum = 0;
    for($i = $middle + 1; $i <= $right; $i++) {
        $sum += $seq[$i];
        $rmax = max($rmax, $sum);
    }
 
    return max($lmax + $rmax, maxsofar($seq, $left, $middle), maxsofar($seq, $middle + 1, $right));
}
 
$seq = array(31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84);
echo maxsofar($seq, 0, count($seq) - 1);
die();

　　

对于mc的计算，通过观察发现，mc在a中包含右边界的最大子序列，而mc在了中包含左边界的最大子序列
此解法的时间复杂度为O(nlogn)

【解法五：扫描算法】
最大总和的初始值设为0，假设我们已解决了x[0..i-1]的问题，那么最大总各子序列要么在前i-1个元素中，要么其结束位置为i

<?php
/**
 * 一维模式识别算法五，扫描算法
 * @package test
 */ 
function maxsofar($seq) {
    $maxsofar = 0;
    $maxendinghere = 0;
    $len = count($seq);
 
    for($i = 0; $i < $len; $i++) {
        $maxendinghere = max($maxendinghere + $seq[$i], 0);
        $maxsofar = max($maxsofar, $maxendinghere);
    } 
    return $maxsofar;
}
 
$seq = array(31, -41, 59, 26, -53, 58, 97, -93, -23, 84);
echo maxsofar($seq);
die();

　　

理解这个程序的关键在于变量$maxendinghere。
在循环中的第一个赋值语句之前，$maxendinghere是结束位置为i-1的最大子序列的和；赋值语句将其改为结束位置为i的最大子序列的和。
其时间复杂度为O(n)，对于这种时间复杂度为O(n)的算法，一般称其为线性算法。

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