动态规划之Fib数列类问题应用

一，问题描述

有个小孩上楼梯，共有N阶楼梯，小孩一次可以上1阶，2阶或者3阶。走到N阶楼梯，一共有多少种走法？

二，问题分析

DP之自顶向下分析方式：

爬到第N阶楼梯，一共只有三种情况(全划分，加法原理)，从第N-1阶爬1阶到第N阶；从第N-2阶爬2阶到第N阶；从第N-3爬3阶到第N阶。

故：way(N)=way(N-1)+way(N-2)+way(N-3)

这与求Fib数列非常相似，当然，其他类似的问题也可以这样求解。

初始条件：

way(1)=1

way(2)=2

way(3)=4

这里解释一下way(3)=4。爬到第3层一共有4种方式：每次爬一层，1+1+1=3；先爬一层，再爬二层，1+2=3；先爬二层，再爬一层，2+1=3；一次性爬三层。 

三，代码实现

public class WaysOfLadder {
    
    public static int ways(int n){
        if(n <= 0)
            throw new IllegalArgumentException();
        return waysLadder(n);
    }
    
    //递归算法爬上第n阶楼梯一共需要多少种方式
    private static int waysLadder(int n){
        assert n > 0;
        //base condition
        if(n == 1)
            return 1;
        if(n == 2)
            return 2;
        if(n == 3)
            return 4;
        else
            return waysLadder(n-1) + waysLadder(n - 2) + waysLadder(n - 3);
    }
    
    //dp
    public static int ways_dp(int n){
        if(n <= 0)
            throw new IllegalArgumentException();
        
        int pre_1 = 1;
        int pre_2 = 2;
        int pre_3 = 4;
        int res = 0;
        for(int i = 4; i <= n; i++)
        {
            res = pre_1 + pre_2 + pre_3;
            pre_1 = pre_2;
            pre_2 = pre_3;
            pre_3 = res;
        }
        return res;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int n = 32;
        System.out.println(ways_dp(n));
        System.out.println(ways(n));
    }
}

上面代码清晰地对比了DP实现与递归实现的方式。DP是用三个变量保存当前计算的结果，当计算下一个结果时，先“查表”再计算。而递归则是使用三个递归函数调用，递归函数调用计算了大量的重叠的子问题，每次递归调用都要压栈、出栈。递归的时间复杂度为O(3^N)，而DP的时间复杂度为O(N)

类似的思想，还有计算杨辉三角的公式：C(n,r)=C(n-1,r) + C(n-1,r-1)具体可参考：

只不过杨辉三角的计算公式有两个参数而已。

另外，相关问题可参考：组合问题与动态规划的联系之应用