KMP总结

通俗描述

当在B中匹配A时，若在某一位失配，我们需要知道至少要将A往后移多少位才能确保之前匹配的内容仍然匹配（不然匹配肯定无效），而这个偏移量可以由“当前位置A的前缀中，A的非前缀后缀与A的前缀的最大匹配长度”计算出，考虑到在B中的计算过程实际上在计算“B的后缀与A的前缀的最大匹配长度”，两者可以用相似的做法求出，而非前缀性质可由初始化时的错位保证。

基本定义

• A：模板串，下标1~n
• B：文本串，下标1~m
• nxt[i] = max{ j | j<i 且 A[i-j+1~i] = A[1~j] }
• f[i] = max{ j | j <= i 且 j <= n 且 B[i-j+1~i] = A[1~j] }
• nxt[i]的“候选项”：{ j | j<i 且 A[i-j+1~i] = A[1~j] }

相关性质

引理1

若j是nxt[i]的候选项，则j-1必是nxt[i-1]的候选项。

引理2

若(j_0)是nxt[i]的一个候选项，则nxt[i]的小于(j_0)的最大的候选项是nxt[(j_0)]。
证：反证法，若有$ nxt[j_0] le j_1 le j_0 (，)j_1(是nxt[i]的候选项。 ) ecause j_1(是nxt[i]的候选项 ) herefore $ A[1~(j_1)] = A[i-(j_1)+1~i]
$ ecause j_0(是nxt[i]的候选项 ) herefore $ A[1~(j_0)] = A[i-(j_0)+1~i]，即A[(j_0 - j_1 +1) ~ (j_0)] = A[$ i-j_1+1$~ (i) ]
$ herefore $ A[1 ~ (j_1)] = A[(j_0-j_1+1) ~ (j_0)]
$ herefore $ nxt[(j_0)]应为(j_1)
$ herefore $ 矛盾
即得证。

计算方法

由引理1和引理2，计算nxt[i]时，只要考虑nxt[i-1]+1，nxt[nxt[i-1]]+1，...亦可理解成“A错一位后匹配它自己”

nxt求法

nxt[1]=0;
for(int i=2,j=0;i<=n;i++)
{
    whiel(j>0&&a[i]!=a[j+1]) j=nxt[j];
    if(a[i]==a[j+1]) j++;
    nxt[i]=j;
}

f求法

for(int i=1,j=0;i<=m;i++)
{
    while(j&&(j==n||b[i]!=a[j+1])) j=nxt[j];
    if(b[i]==a[j+1]) j++;
    f[i]=j;
    if(f[i]==n) { ... }
}

nxt数组的意义

1. 自身定义：nxt[i] = max{ j | j<i 且 A[i-j+1~i] = A[1~j] }
2. 可将整个KMP视为一个自动机，nxt数组即为“失配边”

常见用处

1. 单文本单模板字符串匹配
2. 求字符串最小循环元长度（如果有，即为n-nxt[n])