Lyndon分解 从 Lyndon 到 Runs

Lyndon 相关知识是大毒瘤。

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目录

• 1.一些定义
• 2.一些性质
• 3. Duval's Algorithm

1.一些定义

Lyndon Word：对于任意字符串 (s) 如果对任意后缀 (S)，有$ S>s$，那么称 (s) 为Lyndon Word。

举个例子：( exttt{abcdefg}) 是 Lyndon Word，而 ( exttt{gfedcba}) 不是。

定义 (mathbb L) 表示 Lyndon Word 构成的集合。

定义 (Sigma) 表示字符集，组成的字符串为 (Sigma^*)，组成的非空字符串为 (Sigma^+)

Lyndon 分解：对于任意字符串 (s)，如果存在一组字符串 (w_1,w_2,cdots,w_k)，满足：

1. (w_1w_2cdots w_k=s)；
2. (forall i,w_i) 是 Lyndon Word；
3. (w_1ge w_2ge w_3cdots w_k)；

则称 ({w_i|1le ile k}) 为 (s) 的 Lyndon 分解，并记 ( ext{CFL}(s)={w_i|1le ile k}) 。

2.一些性质

1. 若 (a,bin mathbb L) ，且 (a<b) ，则 (abin mathbb L)。
2. Lyndon 分解存在且唯一。
3. (w_1) 是最长的 Lyndon 前缀， (w_k) 是最长的 Lyndon 后缀。
4. (s) 的最小后缀是 (w_k)。
5. 如果 (sc) 是某个 Lyndon Word 的前缀，(c) 是单个字符，则对任意字符 (d>c)，有 (sd) 是 Lyndon Word。

3. Duval's Algorithm

下记 ((s)^k) 表示 (s) 重复 (k) 次的结果，例如 (( exttt{ab})^5= exttt{ababababab}) 。

维护三个变量 (i,j,k)，使得 (s[1dots i]=s_1s_2dots s_g) 是已经求得的 Lyndon 分解，且 (s[i+1dots k]=t^hv)，其中 (h>1) 是尚未求出的 Lyndon 分解，使得 (v) 是 (t) 的真前缀，且 (s_g>s[i+1dots k])。令 (j=k-h)。

下分三种情况讨论：

1. 若 (s[k+1]=s[j+1])，则令 (kgets k+1)，(jgets j+1)，周期 (h) 保持不变。
2. 若 (s[k+1]>s[j+1])，则根据性质五可得 (vs[k+1]) 是 Lyndon Word，