交换

【题目描述】

       给定一个{0, 1, 2, 3, … , n - 1}的排列 p。一个{0, 1, 2 , … , n - 2}的排列q被认为是优美的排列，当且仅当q满足下列条件：

       对排列s = {0, 1, 2, 3, ..., n - 1}进行n – 1次交换。

1. 交换s[q0],s[q0 + 1]
2. 交换s[q1],s[q1 + 1]

…

最后能使得排列s = p.

问有多少个优美的排列，答案对10^9+7取模。

【输入格式】

第一行一个正整数n.

第二行n个整数代表排列p.

【输出格式】

       仅一行表示答案。

【样例输入】

3

1 2 0

【样例输出】

1

【样例解释】

q = {0,1} {0,1,2} ->{1,0,2} -> {1, 2, 0}

q = {1,0} {0,1,2} ->{0,2,1} -> {2, 0, 1}

【数据范围】

30%:  n <= 10

100%:  n <= 50

/*
  这个题的题解很难懂
  我们反着考虑，求出把p数列变成有序的方案数，那么对于最后一次交换，如果交换(i,i+1)，那么交换后i之前的数一定<=i，i之后的数一定>=i，所以左边的数是一段连续的，右边也是。由于左右互不干涉，所以这就变成了一个子问题，可以用记忆化搜索解决。
  设dp[len][low]代表长度为len，H是{low,low+1,…,low+n-1}的排列且H是p的子序列，在H上优美序列的个数。
  我们枚举交换哪两个相邻元素(k,k+1)， 然后判断 k 前面的所有数是否都小于后面的所有数，如果是则进行转移，dp[len][low]+=dp[k][low]*dp[n–k][low+k]*C(n–2, n–1-k)。即前面的 k 个元素与后面的 n - k 个元素是两个独立的子问题，前面是{low ... low + k - 1}的排列，后面是{low+k ...low+n-1}的排列，C(n - 2, n - 1 - k)代表的是在交换(k, k + 1)前左右两边还分别要进行n-2 次交换，而每次交换左边与交换右边是不同方案，这相当于n-2位置选择 n-1-k 个位置填入，故还需要乘上 C(n-2,n-1-k)。
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define N 60
#define lon long long
using namespace std;
const int mod=(int)(1e9)+7;
int n,p[N],dp[N][N],c[N][N];
int dfs(int len,int low){
    if(dp[len][low]!=-1)return dp[len][low];
    if(len==1)return 1;
    int t[N]={0},m=0,tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(p[i]>=low&&p[i]<low+len)
            t[++m]=p[i];
    for(int i=1;i<m;i++){
        swap(t[i],t[i+1]);
        int j,k;
        for(j=1;j<=i;j++)
            if(t[j]>=low+i)break;
        for(k=i+1;k<=m;k++)
            if(t[k]<low+i)break;
        if(j>i&&k>m){
            lon tmp=(lon)(dfs(i,low)*(lon)dfs(m-i,low+i))%mod;
            tmp=tmp*c[m-2][i-1]%mod;
            tot=(tot+(int)tmp)%mod;
        }
        swap(t[i],t[i+1]);
    }
    dp[len][low]=tot;
    return tot;
}
int main(){
    //freopen("swap.in","r",stdin);
    //freopen("swap.out","w",stdout);
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&p[i]);
    for(int i=0;i<=n;i++){
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
    }
    dfs(n,0);
    if(dp[n][0]!=-1)printf("%d",dp[n][0]);
    else printf("0");
    return 0;
}