欧拉函数基础

1.欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

2.通式：φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

3.对于质数p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

4.欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有a^φ(n) ≡ 1 mod n。

5.欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

6.若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外 ，其他数都跟n互质。

7.特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

8.欧拉函数还有这样的性质：

设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) *a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。

求欧拉函数模板：

/* 公式：φ(n)=n*(1-1/p1)*...*(1-1/pn) */
int euler(int x){
    int res=x,a=x;
    for(int i=2;i*i<=a;i++){
        if(a%i==0){
            res-=res/i;//res=res*(1-1/i)
            while(a%i==0) a/=i;
        }
    }
    if(a>1) res-=res/a;
    return res;
}

欧拉函数打表

void get_euler(){
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++) euler[i]=i;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(euler[i]==i)
            for(int j=i;j<N;j+=i)
                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
    }
    //for(int i=1;i<N;i++) printf("%d ",euler[i]);
}