Longge的问题（bzoj 2705）

Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

/*
  想了很长时间，实在没想出怎么做。
  正解貌似很简单，设k=gcd(i,n)，那么1=gcd(i/k,n/k)，那么如果我们知道了K，可以用欧拉函数解出i的个数，把所有i的个数加起来就行了，
  至于枚举K，就是枚举n的因数。 
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#define lon long long
using namespace std;
lon n,ans;
lon oula(lon x){
    lon res=x,a=x;
    for(lon i=2;i*i<=a;i++){
        if(a%i==0){
            res-=res/i;//res=res*(1-1/i)
            while(a%i==0) a/=i;
        }
    }
    if(a>1) res-=res/a;
    return res;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(lon i=1;i*i<=n;i++){
        if(n%i) continue;
        ans+=oula(n/i)*i;
        if(i*i!=n) ans+=oula(i)*(n/i);
    }
    cout<<ans;
}