插入排序

分析与解答：

插入排序的基本思想：对于给定的一组记录，初始时假设第一个记录自成一个有序序列，其余的记录为无序序列。接着从第二个记录开始，按照记录的大小依次将当前处理的记录插入到其之前的有序序列中，直至最后一个记录插入到有序序列中为止。
以数组 array（38, 65, 97, 76, 13, 27, 49）为例，直接插入排序具体步骤如下：
第一步插入 38 以后：[38] 65 97 76 13 27 49
第二步插入 65 以后：[38 65] 97 76 13 27 49
第三步插入 97 以后：[38 65 97] 76 13 27 49
第四步插入 76 以后：[38 65 76 97] 13 27 49
第五步插入 13 以后：[13 38 65 76 97] 27 49
第六步插入 27 以后：[13 27 38 65 76 97] 49
第七步插入 49 以后：[13 27 38 49 65 76 97]
根据以上的实现原理，实现代码如下：

function insertSort($arr){

    for($i=1, $len = count($arr); $i < $len; $i++){
        $tmp = $arr[$i];

        for($j=$i-1; $j>=0; $j--){
            if($tmp < $arr[$j]){
                $arr[$j+1] = $arr[$j];
                $arr[$j] = $tmp;
            }else{
                break;
            }
        }
    }

    return $arr;
}

$arr = [38, 65, 97, 76, 13,27, 49];
echo "排序前:";
foreach ($arr as $val){
    echo $val.' ';
}
echo "
排序后:";

$arr = insertSort($arr);
foreach ($arr as $k=>$val){
    echo $val.' ';
}

程序的运行结果为

排序前:38 65 97 76 13 27 49
排序后:13 27 38 49 65 76 97

可以对传统的插入排序算法进行改进，在查找插入位置时使用二分查找的方式。改进后的插入排序算法如下：

<?php
function insertSort($arr){

    for($i=1, $len = count($arr); $i < $len; $i++){
       $key = $arr[$i];
       $left = 0;
       $right = $i - 1;
       while($left <= $right){
           $middle = floor(($left+$right)/2);
           if($key < $arr[$middle]){
               $right = $middle-1;
           }else{
               $left = $middle+1;
           }
       }
       for($j = $i-1; $j>$left; $j--){
           $arr[$j+1] = $arr[$j];
       }
       $arr[$left] = $key;
    }

    return $arr;
}

$arr = [38, 65, 97, 76, 13,27, 49];
echo "排序前:";
foreach ($arr as $val){
    echo $val.' ';
}
echo "
排序后:";

$arr = insertSort($arr);
foreach ($arr as $k=>$val){
    echo $val.' ';
}

程序的运行结果为

排序前:38 65 97 76 13 27 49
排序后:13 27 49 65 65 76 76

算法性能分析：
最佳情况：T（n）=O（n），输入数组按升序排列。
最坏情况：T（n）=O（n2），输入数组按降序排列。
平均情况：T（n）=O（n2）。