算法基础

一 算法的定义

算法（Algorithm）是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

一个算法应该具有以下七个重要的特征：

①有穷性（Finiteness）：算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止；

②确切性(Definiteness)：算法的每一步骤必须有确切的定义；

③输入项(Input)：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输     入是指算法本身定出了初始条件；

④输出项(Output)：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。没       有输出的算法是毫无意义的；

⑤可行性(Effectiveness)：算法中执行的任何计算步骤都是可以被分解为基本的可执行       的操作步，即每个计算步都可以在有限时间内完成（也称之为有效性）；

⑥高效性(High efficiency)：执行速度快，占用资源少；

⑦健壮性(Robustness)：对数据响应正确。

_{二 时间复杂度}

时间复杂度：就是用来评估算法运行时间的一个式子（单位）。一般来说，时间复杂度高的算法比复杂度低的算法慢。

类比生活中的一些时间，估计时间：

常见的时间复杂度(按照率排序)

　　o(1)<o(logn)<o(n)<o(nlogn)<o(n方)<o(n方logn)<o(n立方)

由图中我们可以看出，当 n 趋于无穷大时， O(nlogn) 的性能显然要比 O(n^2) 来的高

一般来说，只要算法中不存在循环语句，其时间复杂度就是 O(1)

而时间复杂度又分为三种：

• 最优时间复杂度 (Best-Case)
• 平均时间复杂度 (Average-Case)
• 最差时间复杂度 (Worst-Case)

最差时间复杂度的分析给了一个在最坏情况下的时间复杂度情况，这往往比平均时间复杂度好计算，而最优时间复杂度一般没什么用，因为没人会拿一些特殊情况去评判这个算法的好坏。

现在我们来说说下面这些代码的时间复杂度是多少呢？

print('hello world')
print('hello python')
print('hrllo ssd ')        #O(1)    大O，简而言之可以认为它的含义是“order of”（大约是）。
#
for i in range(n):
    print('hello world')
    for j in range(n):
        print('hello world')   #O(n^2)

for i in range(n):
    for j in range(i):
        print('hrllo owd')   ##O(n^2)
n= 64
while n>1:
    print(n)     #O(log2n)或者O(logn)
    n = n//2

# while的分析思路：
#     假如n = 64的时候会输出：如下图

# 这时候可以发现规律：

快速一眼判断时间复杂度的方法(适用于绝大数简单情况)

• 确定问题规模n
• 循环减半的过程->O(logn)
• 几次循环就是n的几次方的复杂度

三 空间复杂度

空间复杂度用来评估算法内存占用大小的式子
空间复杂度的表示方式与时间复杂度完全一样

• 算法使用了几个变量:O(1)
• 算法使用了长度为n的一维列表：o(n-1)
• 算法使用了m行n列的二维列表：o(mn)

四 递归函数

1、递归最大的两个特点：

• 调用自身
• 结束条件

上图符号递归条件的为func3和func4

递归解决汉诺塔问题

假设有n个盘子：

• 把n-1个圆盘从A经过C移动到B
• 把第n个圆盘从A移动到C
• 把n-1个小圆盘从B经过A移动到C

将n-1个圆盘从A经过C移动到B

将第n个圆盘从A移动到C

 将n-1个小圆盘从B经过A移动到C

 

实现代码:

def haoni(n, A, B, C):
    # n个盘子从A经过B移动到c
    if n > 0:
        haoni(n - 1, A, C, B)
        print("%s->%s" % (A, C))
        print(n - 1, B, A, C)

haoni(3, "A", "B", "C")