Solution 30: 从1到n出现“1”的次数

问题描述

Given an integer n, count the total number of digit 1 appearing in all non-negative integers less than or equal to n.

For example:
Given n = 13,
Return 6, because digit 1 occurred in the following numbers: 1, 10, 11, 12, 13.

解决思路

1. 遍历+计数法（可以转成字符串计数）：超时；

2. 数学法：寻找规律。规律就是：

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写一个函数f(N)，返回1到N之间出现的"1"的个数，比如f(12) = 5。

    假设N ＝ abcde，这里a,b,c,d,e分别是十进制数N的各个数位上的数字。如果要计算百位上出现1

的次数，将受3方面因素影响：百位上的数字，百位以下(低位)的数字，百位(更高位)以上的数字。

    如果百位上的数字为0，则可以知道百位上可能出现1的次数由更高位决定，比如12 013，则可以知

道百位出现1的情况可能是100－199，1 100－1 199，……，11 100－11 199，一共有1 200个。也就是

由更高位数字(12) 决定，并且等于更高位数字(12)×当前位数(100)。

    如果百位上的数字为1，则可以知道，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，

也就是由更高位和低位共同决定。例如12 113， 受更高位影响，百位出现1的情况是100－199，1 100

－1 199，……，11 100－11 199，一共有1 200个，和上面第一种情况一样，等于更高位数字(12)×当

前位数(100)。但它还受低位影响，百位出现1的情况是12 100－12 113，一共114个，等于低位数字

(113)+1。

    如果百位上数字大于1(即为2－9)，则百位上可能出现1的次数也仅由更高位决定，比如12 213，则

百位出现1的情况是：100－199，1 100－1 199，……，11 100－11 199，12 100－12 199，共1300个

，并且等于更高位数字+1(12+1)×当前位数(100)。

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举个例子，三位数的话，如下图：

程序

第二种方法：

public class NumOfOnes {
	    public int countDigitOne(int n) {
	    	long cnt = 0;
	    	long base = 1;
	        
	        while (n >= base) {
	            long low = n % base;
	            long cur = (n / base) % 10;
	            long high = n / (base * 10);
	            
	            if (cur == 0) {
	                cnt += high * base;
	            } else if (cur == 1) {
	                cnt += base * high + low + 1;
	            } else {
	                cnt += base * (high + 1);
	            }
	            
	            base *= 10;
	        }
	        
	        return (int) cnt;
	    }
}

值得注意的是，需要使用long甚至更大位数的单位存储cnt，否则容易越界。