置换笔记

置换

以前学过置换，但是由于当时太菜没有弄懂，只能从头来过

希望这次能懂qaq

圈

讨论 (1) 至 (n) 的一个置换 (a_1,a_2,...,a_n)，表示 1 被放到 (a_1)，(2) 被放到 (a_2) 处等

书写格式：
(egin{pmatrix}1&2&...&n\a_1&a_2&...&a_nend{pmatrix})
如果 (p_1) 和 (p_2) 都是置换，我们可以把乘积 (P_1P_2) 定义为一种重排

比如：

[P_1=egin{pmatrix}1&2&3&4\2&4&1&3end{pmatrix} 和~ P_2=egin{pmatrix}1&2&3&4\3&4&2&1end{pmatrix} ]

[P_1P_2=egin{pmatrix}1&2&3&4\1&4&3&2end{pmatrix} ]

置换的性质：

显然，两个置换的乘积还是置换

对于多次置换，满足结合律，即 (a(bc)=(ab)c)

设 (I=egin{pmatrix}1&2&3&4\1&2&3&4end{pmatrix})
显然 (pI=p,Ip=p) 均成立

设置换 (p = egin{pmatrix}1&2&3&4\3&1&2&4end{pmatrix})
构造逆置换 (p^{-1}=egin{pmatrix}1&2&3&4\2&3&1&4end{pmatrix})
容易发现 (p(p^{-1})=I,(p^{-1})p=I)

但是置换的乘法不满足交换律，比如

[P_1=egin{pmatrix}1&2&3\2&1&3end{pmatrix} P_2=egin{pmatrix}1&2&3\3&2&1end{pmatrix} ]

[P_1P_2=egin{pmatrix}1&2&3\2&3&1end{pmatrix} ]

[P_2P_1=egin{pmatrix}1&2&3\3&1&2end{pmatrix}]

对于一个对象的集合 (G),如满足一下 (4) 个性质:

1. 封闭性
2. 满足结合律
3. 单位元
4. 可逆

那么这样的集合被称作群。

例如整数的商就是一个群。

定理1 数目 (1,2,...,n) 的置换构成一个群。

这个群记做 (S_n)，被称为 (n) 阶对称群，它恰好有 (n) 个不同的元素

这种两行的记号掩盖了置换具有的潜在结构，我们引用置换的另一种圈符号

例如

(egin{pmatrix}1&2&3&4\3&4&2&1end{pmatrix})

是圈 (egin{pmatrix}1&3&2&4end{pmatrix}), 长度为 (4)

(egin{pmatrix}1&2&3&4\2&3&1&4end{pmatrix})

是圈 (egin{pmatrix}1&2&3end{pmatrix}), 在此 (4) 是不动的