决策单调性优化DP

决策单调性

决策单调性，顾名思义就是决策点具有一定的单调性，使得我们在转移的过程中不需要遍历全部的情况，而只需要在一段满足单调性的区间内寻找我们想要的最优解

有的题目甚至不算是DP题，但是也有决策单调性的性质，也归到这一类

由于博主太菜，这里面很多结论不会给出详细的证明，可能只会给出感性理解的记忆方式

建议的阅读顺序是：

• 记住区间包含单调性，四边形不等式的定义
• 学习决策单调性优化DP在区间类（2D1D）和1D1D DP 中的应用
• 在看例题的同时留意四边形不等式的一些证明

四边形不等式

定义

• 区间包含单调性：

[forall lle l'le r'le r, w(l',r')le w(l,r) ]

常见的满足区间包含单调性的有：(w(l,r)=r-l​)，前缀和等

• 四边形不等式（交叉小于包含）：

[forall l_1le l_2le r_1le r_2, w(l_1,r_1)+w(l_2,r_2)le w(l_1,r_2)+w(l_2,r_1) ]

特别的，如果等号恒成立，称(w)满足四边形恒等式

常见的满足四边形不等式的有：(w(l,r)=(r-l)^2)，证明如下：设(ale ble cle d)

[egin{aligned} & (c-a)^2+(d-b)^2=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\ &le a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd-2a(d-c)+2b(d-c)\ &=a^2+b^2+c^2+d^2-2ad-2bc\ &=(d-a)^2+(c-b)^2 end{aligned} ]

常见的满足四边形恒等式的有：(w(l,r)=r-l)

如果已知(w(l,r-1)+w(l+1,r)le w(l,r)+w(l+1,r-1))，那么可以归纳证明其满足四边形不等式

一些性质

这些性质常用来证明区间包含单调性和四边形不等式，打表观察DP状态或者(w)函数是否满足这个关系也是实用手段（尤其是当你不知道该怎么优化DP的时候可以猜一手）

性质1

• 若函数(w_1(l,r),w_2(l,r))均满足四边形不等式/区间包含单调性，则对于任意 (c_1,c_2ge 0)，函数 (c_1w_1+c_2w_2) 也满足四边形不等式/区间包含单调性。

性质2

• 若函数(w(l,r)=f(r)-g(l))，则函数 (w) 满足四边形恒等式。当函数 (f,g) 单调增加时，函数(w) 还满足区间包含单调性。

性质3

• 设(h(x)) 是一个单调增加的凸函数，若函数(w(l,r))满足四边形不等式和区间包含单调性，则复合函数 (h(w(l,r))​) 也满足四边形不等式和区间包含单调性。

性质4

• 设(h(x)) 是一个凸函数，若函数(w(l,r))满足四边形不等式和区间包含单调性，则复合函数 (h(w(l,r))) 也满足四边形不等式。

以上性质会在例题的证明中被提到

决策单调性优化DP

决策单调性能够优化的DP主要有以下两类：

区间类（2D1D）动态规划

（2D1D指状数(O(n^2))，转移有(O(n))中情况）

形如：

[f [l,r]gets minlimits_{lle k<r}{f [l,k]+f [k+1,r]}+w(l,r) ]

引理：若(w(l,r))满足区间包含单调性和四边形不等式，则状态(f[l,r]​)满足四边形不等式

定理：记(g[l,r])为(f[l,r])的最小的 最优决策点，那么

[g[l,r-1]le g[l,r]le g[l+1,r] ]

也就是说，我们在区间类DP的时候顺便记录下转移点，对于当前状态(f[l,r])，我们可以确定它的可能的最优解一定在([ g[l,r-1], g[l+1,r] ])这个区间内，对决策点的总枚举两降到(O(n^2))

for (int len = 2; len <= n; ++len)  // 枚举区间长度
  for (int l = 1, r = len; r <= n; ++l, ++r) {
    // 枚举长度为len的所有区间
    f[l][r] = INF;
    for (int k = g[l][r - 1]; k <= g[l + 1][r]; ++k)
      if (f[l][r] > f[l][k] + f[k + 1][r] + w(l, r)) {
        f[l][r] = f[l][k] + f[k + 1][r] + w(l, r);  // 更新状态值
        g[l][r] = k;  // 更新（最小）最优决策点
      }
  }

例题

• HDU3480 Division，四边形不等式的证明见上
• P4767 [IOI2000]邮局，(w(l,r))在([l,r])之间建一个邮局的最小距离，显然取中位数最优，可以证明其满足四边形不等式（我不会证）

1D1D 动态规划

形如：

[f[i]gets minlimits_{j=1}^{i-1}{f[j]+w(j,i)} ]

定理：若(w(l,r))满足四边形不等式，记(g[i])表示(i)的最小最优决策点，那么

[forall r_1le r_2,g[r_1]le g[r_2] ]

另一种形式（严格弱化版）

形如：

[f[i]=minlimits_{j=1}^{i-1}{w(j,i)} ]

因为决策单调性只限制了下界，并没有限制上界，所以复杂度依然是(O(n^2))的。

所以我们要想办法限制上界

考虑暴力(O(n))找出中点(mid)的最优转移点，那么对于([l,mid-1])的点，我们有了一个上界，对于([mid+1,r])的点，我们有了新的下界

这是一个分治问题，递归下去处理即可

例题：

• loj6039. 「雅礼集训 2017 Day5」珠宝

• loj2157. 「POI2011 R1」避雷针 Lightning Conductor

以Lightning Conductor为例使用四边形不等式相关性质证明四边形不等式

对于所有的(p_i)，求(maxlimits_{j=1}^n{a_j+sqrt{|i-j|}}-a_i)

首先将绝对值去掉，变成(max(maxlimits_{j=1}^i{a_j+sqrt{i-j}},maxlimits_{j=i+1}^n{a_j+sqrt{j-i}})-a_i)，两部分处理方式完全一致，直接reverse之后再做一遍即可

把所有数取反，把(max)变成(min)，(minlimits_{j=1}^i{-a_j-sqrt{i-j}})

由性质4：(w(l,r)=r-l)，满足四边形恒等式和区间包含单调性，(-sqrt{x})是凸函数，所以复合函数(w_2(j,i)=-sqrt{i-j})满足四边形不等式

由性质1：(w_1(j,i)=-a_j)，满足四边形恒等式，则原函数(=w_1(j,i)+w_2(j,i))，满足四边形不等式，得证

剩下的就分治即可，时间复杂度(O(nlog n))

回到原问题

由于决策的单调性，我们可以将(1sim n)划分成若干区间，表示这个区间内的DP值转移自哪里。

我们可以用单调队列维护。单调队列里的元素记录三个信息：(l,r,p)，表示当前状态下（考虑了前(i)个元素），(p)是区间([l,r])内的最优决策点。如果队首的(r<)当前的(i)，弹出无用的队首。插入队尾时，依次和队尾元素比较，如果(f_i o f_l)比(f_p o f_l)更优，那么(p)在任何状态下都不会比(i)更优，弹出队尾；否则将一段后缀分成两个部分，分界线用二分的方式找到。

时间复杂度(O(nlog n))

例题：

• P1912 [NOI2009] 诗人小G

另一种形式

[f [i,j]gets minlimits_{kle j}{f [i-1,k]+w(k+1,j)} ]

实际上是分层的 1D1D DP。我们有类似的结论

引理：若(w(l,r))满足区间包含单调性和四边形不等式，则状态(f[l,r]​)满足四边形不等式

定理：记(g[l,r])为(f[l,r])的最小的 最优决策点，那么

[g[l,r-1]le g[l,r]le g[l,r+1] ]

感性理解：因为有区间包含单调性，我们把一个区间的贡献拆成多个肯定不会更劣，这样我们得到了下界，同时减少一个元素贡献也不会变劣，得到上界