点
表示方法
用两个变量((x,y))表示
struct pt{
db x,y;
pt(db _x=0,db _y=0){x=_x,y=_y;}
inline void read(){scanf("%lf %lf",&x,&y);}
inline void print(){printf("%.3lf %.3lf
",x,y);}
};
用点也可以表示向量，即((0,0) o (x,y))的向量
欧几里得距离
(sqrt{x^2+y^2})
inline db len2(pt a){return a.x*a.x+a.y*a.y;}
inline db len(pt a){return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);}//距离
向量的坐标表示
(A(a,b),B(c,d))，那么(overrightarrow{AB}=(a-c,b-d))
向量
前置芝士：高中数学必修四 第二章 平面向量
一个点在一个向量的左边指：该点在向量的逆时针方向
向量运算
加减与数乘
inline pt operator +(pt a,pt b){return pt(a.x+b.x,a.y+b.y);}
inline pt operator -(pt a,pt b){return pt(a.x-b.x,a.y-b.y);}
inline pt operator *(pt a,db b){return pt(a.x*b,a.y*b);}//数乘
点积
设向量 (a,b) 夹角为 ( heta)
几何意义：(a)的模与(b)在(a)方向上的投影的乘积
坐标运算：
若(a=(m,n),b=(p,q))，则 (acdot b=mp+nq)
inline db operator *(pt a,pt b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}//点积
应用：
- 根据正负号判断夹角：$>0 o (锐角，)=0 o (直角，)<0 o $钝角
- 计算夹角：(cos heta = dfrac{|a||b|}{acdot b})
叉积
这部分是高中教材没有的
叉积也叫向量积
向量(a,b)的叉积(a imes b)是一个向量，其模长(|a imes b|=|a||b|sinlangle a,b angle)，方向遵循右手定则（右手定则：右手除姆指外的四指合并,姆指与其他四指垂直,四指由(a)向量的方向握向(b)向量的方向，这时姆指的指向就是(a,b)叉积的方向）
关于叉积的方向，在OI中应用较少，我们只需要记住
坐标运算：
若(a=(m,n),b=(p,q))，则 (|a imes b|=mq-np)
inline db operator ^(pt a,pt b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
应用：
- 计算面积：三角形面积公式为(S=dfrac{1}{2}absin C)，(|a imes b|)就是(a,b)为领边的平行四边形面积（有向面积），除以(2)即可计算三角形面积
inline db S_tri(pt a,pt b,pt c){return fabs((a-c)^(b-c))/2.0;
- 判断方向：顺负逆正
inline bool Left(Line a,pt b){return sgn((a.y-a.x)^(b-a.x))>=0;}//是否在左边(逆时针)
向量旋转
设(a=(x,y))，逆时针旋转( heta)（角度制），旋转之后的向量为
证明：
设(|a|=l)，夹角为(alpha)，(lcos alpha=x,lsinalpha=y)，那么新的夹角为( heta+alpha)
根据和角公式，横坐标：(lcos( heta+alpha)=l(cos hetacosalpha-sin hetasinalpha)=xcos heta-ysin heta)
纵坐标同理
三角恒等变形
和差角公式
直线
一般使用 两点 或者 一个点一个向量 的表示方法，我是用的是两点式，因为这样可以方便地表示线段和进行点与直线的转化
点到直线距离
平行四边形面积（叉积）除以底边长
inline db dis(Line a,pt b){return (fabs((a.y-a.x)^(b-a.x))/2.0)/len(a.x-a.y);}//点到直线距离
垂足
点击求出映射的长度，比上向量模长，得到变化的比例
inline pt footpoint(Line a,pt b){//垂足
pt x=b-a.x,y=a.y-a.x;
db s=x*y/len(y);
return a.x+(a.y-a.x)*(s/len(y));
}
对称点
求出垂足之后中心对称即可
inline pt symmetry(Line a,pt b){pt ft=footpoint(a,b);return ft+ft-b;}//对称点
点与线的位置关系
点与直线
叉积判
点与射线
在直线上+点积判角度
点与线段
同时在两条射线上
inline bool on_line(Line a,pt b){return !sgn((b-a.x)^(a.y-a.x));}//在直线上
inline bool on_ray(Line a,pt b){return (!sgn((b-a.x)^(a.y-a.x)))&&(sgn((b-a.x)*(a.y-a.x))>=0);}//在射线上
inline bool on_segment(Line a,pt b){return (!sgn((b-a.x)^(a.y-a.x)))&&(sgn((b-a.x)*(b-a.y))<=0);}//在线段上
交点
线段有无交点
快速排斥实验
一目了然
跨立实验
即一个线段的两个点在另一个线段的两侧，叉积判一判
inline bool check_intersec(Line a,Line b){
if(max(a.x.x,a.y.x)+eps<min(b.x.x,b.y.x)||min(a.x.x,a.y.x)>max(b.x.x,b.y.x)+eps
|| max(a.x.y,a.y.y)+eps<min(b.x.y,b.y.y)||min(a.x.y,a.y.y)>max(b.x.y,b.y.y)+eps)return 0;//快速排斥实验
return sgn((b.x-a.x)^(a.y-a.x))*sgn((b.y-a.x)^(a.y-a.x))<=0&&sgn((a.x-b.x)^(b.y-b.x))*sgn((a.y-b.x)^(b.y-b.x))<=0;//跨立实验
}
求交点
面积比得到长度比
inline pt intersec(Line a,Line b){//两直线交点（需要保证不平行/重合）
pt x=a.y-a.x,y=b.y-b.x,z=a.x-b.x;
return a.x+x*((y^z)/(x^y));
}