二分图的判定
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如果一个图是连通的，可以用如下的染色法判定是否二分图：
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我们把
X部的结点颜色设为0，Y部的颜色设为1。 -
从某个未染色的结点
u开始，做BFS或者DFS。把u染为0，枚举u的儿子v。如果v未染色，就染为与u相反的颜色，如果已染色，则判断u与v的颜色是否相同，相同则不是二分图。 -
如果一个图不连通，则在每个连通块中作判定。
#include <bits/stdc++.h> const int maxn = 505; std::vector<int> e[maxn]; int m,n,color[maxn]; bool flag;//全局，标记是否有环 void dfs(int u){ if(flag) return;//如果已经存在环就没必要接着递归了 int len = e[u].size();//省点常数 for(int i = 0; i < len; i++){ //遍历所有相邻顶点，即连着的点 int v = e[u][i]; if(color[v]==0){//v还未访问，染色并递归 color[v] = -color[u]; dfs(v); } else if(color[v]==color[u]){ flag=1;//说明有环 return; } } } void solve(){ for(int i = 0; i < n; i++){ if(color[i] == 0){ color[i] = 1; dfs(i); if(flag){ printf("NOT BICOLORABLE. "); return; } } } printf("BICOLORABLE. "); } int main(){ while(~scanf("%d%d",&n,&m)){ memset(color, 0, sizeof(color)); memset(e, 0, sizeof(e)); for(int i = 0; i < m; i++){ int u,v;scanf("%d%d",&u,&v); e[u].push_back(v);e[v].push_back(u); } solve(); } return 0; }
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最大匹配KM算法
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顶标：设顶点 (X_i) 的顶标为 (A[i])，顶点 (Y_j) 的顶标为 (B[j]) ，顶点 (X_i) 与 (Y_j) 之间的边权为 (w[i][j])，初始化时，(A[i]) 的值为与该点关联的最大边权值，(B[j]) 的值为
0 -
相等子图：选择 (A[i] + B[j] = w[i][j]) 的边 (<i, j>) 构成的子图，就是相等子图。
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算法执行过程中，对任一条边(<i, j>) ，(A[i] + B[j] >= w[i][j]) 恒成立。
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slack数组存的数是Y部的点相等子图时，最小要增加的值 -
算法图示：
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从(X_1) 开始跑匈牙利，匹配的条件是：(A[i] + B[j] = w[i][j]) ，显然 $ X_1$ 和 (Y_3) 匹配成功。
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接着从 (X_2) 开始，(A[X_2]+B[Y_3]==w[X_2][X_3]) ，此时 (Y_3) 已被 (X_1) 匹配，尝试让 (X_1) 换一个匹配对象，但在 (X_1) 的邻接点没有满足：(A[i] + B[j] = w[i][j]) 的点，这些相临边和顶标和的最小差值为：(minz=1) ，把此时已标记的 (X) 部的顶标减去(minz)，即：(A[x_1]=5-1=4,A[X_2]-1=3) ， (Y) 部的此时标记的顶标加上(minz)，即：(B[y_3]=0+1=1) ，此时(A[X_1]+B[Y_1]==w[X_1][Y_1])。
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最后从(X_3) 开始找增广路，(X_3) 匹配 (Y_3) ，不满足，调整顶标，即(A[3]=5-1=4)，匹配(Y_3) 成功，尝试劝说 (X_2) 寻找新的匹配，此时 (Y_1) 满足匹配，尝试让 (X_1) 寻找新的匹配，此时(X_1)已找不到新的为匹配的点，匹配失败，回溯到 (X_2) ，
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Code#include <bits/stdc++.h> const int maxn = 300 + 10,maxe=1e4+5,Inf = 0x3f3f3f3f; struct Edee{int to,w,next;}e[maxe]; int n,m,len,head[maxn],g[maxn][maxn]; int wx[maxn], wy[maxn];//每个点的顶标值（需要根据二分图处理出来） int match[maxn];//每个Y部点所匹配的X部的点 int visx[maxn], visy[maxn];//每个点是否加入增广路 int slack[maxn];//边权和顶标最小的差值 void Insert(int u,int v){ e[++len].to=v;e[len].next=head[u];head[u]=len; } bool dfs(int u){//进入DFS的都是X部的点，找到增光路返回1，否则返回0 visx[u] = 1;//标记进入增广路 for(int i = head[u]; i ; i=e[i].next){ int v = e[i].to; if(!visy[v]){//如果Y部的点还没进入增广路,并且存在路径 int t = wx[u] + wy[v] - g[u][v]; if(t == 0){//t为0说明是相等子图 visy[v] = 1;//加入增广路 if(match[v] == -1 || dfs(match[v])){ match[v] = u;//进行匹配 return 1; } } else if(t > 0)//此处t一定是大于0，因为顶标之和一定>=边权 slack[v] = std::min(slack[v], t); //slack[v]存的是Y部的点需要变成相等子图顶标值最小增加多少 } } return false; } int KM(){ memset(match, -1, sizeof(match)); memset(wx, 0, sizeof(wx));//wx的顶标为该点连接的边的最大权值 memset(wy, 0, sizeof(wy));//wy的顶标为0 for(int u = 1; u <= n; u++){//预处理出顶标值 for(int i = head[u]; i ; i=e[i].next) wx[u] = std::max(wx[u], g[u][e[i].to]); } for(int i = 1; i <= n; i++){//枚举X部的点 memset(slack, 0x3f, sizeof(slack)); while(1){ memset(visx, 0, sizeof(visx)); memset(visy, 0, sizeof(visy)); if(dfs(i))break;//已经匹配正确 int minz = Inf; for(int j = 1; j <= n; j++) if(!visy[j] && minz > slack[j]) minz = slack[j];//找出还没经过的点中，需要变成相等子图的最小额外增加的顶标值 //将X部已访问的顶标减去minz，Y部已访问的顶标加上minz for(int j = 1; j <= n; j++) if(visx[j])wx[j] -= minz; for(int j = 1; j <= n; j++) //修改顶标后，要把所有不在交错树中的Y顶点的slack值都减去minz if(visy[j])wy[j] += minz; else slack[j] -= minz;//未在增光路，但相应的X部已访问的顶标减少了,其相邻的未访问的期望也减小 } } int ans = 0;//二分图最优匹配权值 for(int i = 1; i <= n; i++) if(match[i] != -1)ans += g[match[i]][i]; return ans; } int main(){ while(scanf("%d%d", &n,&m) != EOF){ for(int i = 1; i <= m; i++){ int u,v,w;scanf("%d%d%d", &u,&v,&w); g[u][v]=w;Insert(u,v); } printf("%d ", KM()); } return 0; }