Watching Fireworks is Fun(CF372C)

1. Watching Fireworks is Fun(CF372C)

 Decscription

• 一个节日将在一个镇的主街道上举行。 街道被分为(n)段，从左到右编号为(1)到(n)，每个相邻部分之间的距离为(1)。

• 节日里在主街道有 (m) 个烟花要放，第(i(1le ile m))次烟花将在 (t_i) 时在 (a_i) 段燃放。 如果您在第 (i) 次发射时处于 (x(1le x le n)) ，您将获得幸福值 (b_i-|a_i-x|) （请注意，幸福价值可能是负值）

• 您可以以单位时间间隔移动长度为 (d) 个长度单位，但禁止离开主要街道。 此外，在初始时刻（时间等于 (1) ）你可以在街道的任意部分，并希望最大化从观看烟花获得的幸福总和。 找到最大的总幸福。

• 请注意，两个或多个烟花可以同时发射

Input

• 第一行包含三个整数(n, m, d (1≤ n ≤150000; 1≤ m ≤300; 1≤ d ≤ n))

• 接下来(m)行每行包含三个整数(a_i, b_i, t_i (1≤ a_i ≤ n; 1≤ b_i ≤10^9; 1≤ t_i ≤10^9))。第(i)行描述第(i)次烟花发射

• 确保满足条件(t_i≤t_{i + 1}(1≤i<m))。

Output

• 输出一个整数 —— 从观看所有烟花获得的最大幸福总和

Sample Input

样例输入1：
50 3 1
49 1 1
26 1 4
6 1 10

样例输入2：
10 2 1
1 1000 4
9 1000 4

Sample Output

样例输出1：
-31

样例输出2：
1992

• 分析

  • 如果 (i) 时位置确定，在 (x_i) ，则到下一个燃放时刻时最远能一定(h=(t_{i+1}-t_i)*d)，则位置可能在$[x_i-h,x_i+h] $ 。

  • 所以该次燃放后可能获得的幸福总和由上一次位于([j−h,j+h])处的(2h+1)种情形得到。

  • 定义：(dp[i][j])，表示第 (i) 次烟花燃放时位于 (j) 时所能获得的最大的幸福总和。

  • 动态转移方程：(dp[i][j]=max(dp[i-1][k])+b[i]-|a[i]-j|,kin [j-h,j+h]) 。

    • 第 (i) 次燃放时处于 (j(1le jle n))，那第 (i-1) 次燃放时必须能到达 (j) ，所以 (j-hle k le j+h)。
    • 当前状态至于上一行的某个区间的最值有关，我们很快就能联想起用单调队列进行优化。
    • 当前行状态至于上一行的状态相关，果断滚动数组压维。
    • 时间效率：(O(m*n))。

  • Code

    #include <bits/stdc++.h>
    typedef long long LL;
    const int maxn=15e4+5;
    LL dp[2][maxn];
    void Solve(){
        int n,m,d;scanf("%d%d%d",&n,&m,&d);
        int pre_t=1,k=0;//pre_t 记录上一个烟花的时刻,k滚动数组标记，k当前行，!k上一行
        while(m--){
            int a,b,t;scanf("%d%d%d",&a,&b,&t);
            LL h=1LL*(t-pre_t)*d;//从上一个时刻到这个烟花燃放时刻最远能走多远
            h=std::min(h,LL(n));//h过大没什么意义，最大为n
            pre_t=t;//为下一个时刻做准备
            k=!k;//滚动数组标记
            std::deque <int> q;
            for(int i=1,j=1;i<=n;++i){//i枚举当前燃放时所处的位置,j表示上一个烟花时可能的为主    
                for(;j<=i+h && j<=n;++j){//注意j在上面定义的，即当i改变位置时，j没有重新赋值
                    while(!q.empty() && dp[!k][q.back()]<=dp[!k][j])q.pop_back();
                    q.push_back(j);//当上一行j位置的dp值比队尾大时显然，队尾就没用了
                }
                while(!q.empty() && q.front()<i-h)q.pop_front();//保证左边范围
                dp[k][i]=dp[!k][q.front()]+b-std::abs(a-i);
            }
        }
        LL ans=dp[k][1];
        for(int i=2;i<=n;++i)//看最后一个烟花时，你可能在1~n的任何一个位置
            ans=std::max(ans,dp[k][i]);
        printf("%lld
    ",ans);
    }
    int main(){
        Solve();
        return 0;
    }