矩阵游戏(数学规律 (starstar ))
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Descrption
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(LZK)发明一个矩阵游戏,大家一起来玩玩吧,有一个(N)行M列的矩阵。第一行的数字是(1,2,…M),第二行的数字是(M+1,M+2…2*M),以此类推,第 (N) 行的数字是((N-1)*M+1,(N-1)*M+2…N*M)。
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例如,(N=3,M=4)的矩阵是这样的:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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对于身为智慧之神的 (LZK) 来说,这个矩阵过于无趣.于是他决定改造这个矩阵,改造会进行 (K) 次,每次改造会将矩阵的某一行或某一列乘上一个数字,你的任务是计算最终这个矩阵内所有数字的和,输出答案对(10^9+7)取模。
Input
- 第一行包含三个正整数(N、M、K),表示矩阵的大小与改造次数。接下来的行,每行会是如下两种形式之一:
- (R X Y),表示将矩阵的第(X(1 ≤ X ≤ N))行变为原来的(Y(0 ≤ Y ≤10^9))倍.
- (S X Y),表示将矩阵的第(X(1 ≤ X ≤ M))列变为原来的(Y(0 ≤ Y ≤10^9))倍.
Output
- 输出一行一个整数,表示最终矩阵内所有元素的和对(10^9+7)取模的结果。
Sample Input
game.in
3 4 4
R 2 4
S 4 1
R 3 2
R 2 0
game.out
94
```
Sample Output
game.in
2 4 4
S 2 0
S 2 3
R 1 5
S 1 3
game.out
80
Hint
- 来源:
分析
方法一:
-
显然对于每一个数,乘法的顺序不会对结果产生任何影响,我们用数组 (r_i) 标记第 (i) 行所有乘的数的积,用数组 (s_i) 标记第 (j) 列所有乘的数的积。
-
通过观察,可以发现第 (i) 行第 (j) 列的数字为:((i-1)*m+j) 。
-
因为先做行的乘法或先做列的乘法,结果都一样,所以我们可以先做行的乘法。然后我们可以把同一列的所有数都加起来,令 (sum_j) :表示做了行乘法后,第 (j) 列的和。
[sum_j=sum_{i=1}^{n}r_i imes((i-1) imes m+j) \ Rightarrow sum_j=sum_{i=1}^{n}r_i imes (i-1)*m+sum_{i=1}^{n}r_i imes j \ Rightarrow sum_j=sum_{i=1}^n r_i imes(i-1)*m+j imes sum_{i=1}^{n} r_i ] -
令 (k_1=sum_{i=1}^n r_i imes (i-1)*m,k_2=sum_{i=1}^{n} r_i) ,显然 (k_1,k_2) 是跟 (i) 相关数。 (sum_j=k_1+j imes k_2) 。
Code
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
const int maxn=1e6+5;
const LL Mod=1e9+7;
LL s[maxn],r[maxn];
int n,m;
void Init(){
int k;scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=1;i<=n;++i)r[i]=1;
for(int i=1;i<=m;++i)s[i]=1;
while(k--){
LL x,y;char ch;
scanf(" %c%lld%lld",&ch,&x,&y);
if(ch=='S')s[x]=(s[x]*y)%Mod;
if(ch=='R')r[x]=(r[x]*y)%Mod;
}
}
void Solve(){
LL sum1=0,sum2=0,ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)//第一部分:sigma r[i]*(i-1)*m
sum1=(r[i]*m%Mod*(i-1)%Mod+sum1)%Mod;
for(int i=1;i<=n;++i)//第二部分:sigma r[i]
sum2=(sum2+r[i])%Mod;
for(int i=1;i<=m;++i)//ans=sigma sumi*s[j]
ans=(ans+(sum1+sum2*i%Mod)%Mod*s[i]%Mod)%Mod;
printf("%lld
",ans);
}
int main(){
Init();
Solve();
return 0;
}
方法二:
- 经过分析可知:
- 操作可以任意顺序进行,不会影响最终结果。
- 每一行都是一个等差数列,且一开始公差都为(1)。
- 每一列相加得到的数列也是等差数列,公差为所有等差数列的公差之和。
- 我们就可以考虑先进行的操作,再进列的操作。每一行的数乘上一个数后仍然是等差数列,公差增加相应倍数。这样,对于每一行,我们只用维护第一项和它的公差就好了。
- 当行的操作弄完后,将所有等差数列的第一项相加,得到第一列的和,再将公差相加,得到每一列和的公差,就可以求出每一列的和,剩下的就是直接对列的和进行乘法就好了。
Code
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
const int maxn=1e6+5;
const LL Mod=1e9+7;
LL col[maxn];//col[i]记录第i列的乘数
LL a[maxn],b[maxn];//a[i],b[i]分别为第i行首项和公差
LL sum[maxn];//sum[i]表示第i列之和
int n,m;
void Init(){
int k;scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=1;i<=n;++i){
a[i]=(1LL*(i-1)*m+1)%Mod;//第i行的首项
b[i]=1;//第i行的公差
}
for(int i=1;i<=m;++i)col[i]=1;
while(k--){
LL x,y;char ch;
scanf(" %c%lld%lld",&ch,&x,&y);
if(ch=='S')
col[x]=(col[x]*y)%Mod;
if(ch=='R'){
a[x]=(a[x]*y)%Mod;
b[x]=(b[x]*y)%Mod;
}
}
}
void Solve(){
LL d=0,ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i){//求出第一列之和
sum[1]=(sum[1]+a[i])%Mod;//首项
d=(d+b[i])%Mod;//公差
}
for(int i=2;i<=m;++i)//利用等差数列公式求出其他列之和
sum[i]=(sum[i-1]+d)%Mod;
for(int i=1;i<=m;++i)
ans=(ans+sum[i]*col[i]%Mod)%Mod;
printf("%lld
",ans);
}
int main(){
Init();
Solve();
return 0;
}