浅谈快速沃尔什变换

快速沃尔什变换(fwt)

(fwt)是一种快速计算位运算卷积的算法，一般包括按位或卷积，按位与卷积和异或卷积。

按位或(or)卷积

对于多项式(A,B,C)，定义(oplus)为卷积符号，即(Aoplus B = C)。

那么，按位或卷积就是：

[C_k=sum_{i~or~j=k}A_icdot B_j ]

类比于(FFT)，现在，我们的任务就是找到一种变换，记这种变换为(fwt(A))，则要满足(fwt(A) imes fwt(B)=fwt(C))，其中( imes)表示每一位相乘，且(Aoplus B=C)。

经过前人的大力研究，可以发现：

[fwt(A)_i=sum_{j~or~i=i}A_j ]

是满足性质的，证明很简单，直接带进去可得：

[egin{align} fwt(C)_k&=sum_{j~or~k=k}sum_{a~or~b=j}A_acdot B_b\ &=sum_{a~or~k=k}A_acdot sum_{b~or~k=k}B_b\ &=fwt(A)_kcdot fwt(B)_k end{align} ]

即得证。

那么，考虑怎样快速的进行(fwt)变换。

然后有一个这样的式子：

[fwt(A)= egin{cases} (fwt(A_1),fwt(A_1)+fwt(A_2))&n>0\ A_0&n=0 end{cases} ]

其中，((A,B))表示把两个多项式的系数拼起来，感性理解一下就好了。

(A_1)表示多项式前半段，(A_2)表示后半段。

当(n=0)的时候显然，我们只需要关心上面那个是为什么就好了。

对于前半段的第(i)项，(i)的最高位肯定是(0)，那么后半段显然对他没有影响，前半段的影响就是(fwt(A_1)_i)。

对于后半段的第(i)项，(i)的最高位是(1)，所以最高位取(0)时是(fwt(A_1)_i)，取(1)时是(fwt(A_2)_i)，所以一共就是(fwt(A_1)+fwt(A_2))。

然后这玩意形式其实和(FFT)差不太多，复杂度也是(O(nlog n))。

代码：

void fwt_or(int *r) {
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
		for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
			for(int k=0;k<i;k++)
                r[i+j+k]=(r[i+j+k]+r[j+k])%mod;
}

按位与(and)卷积

和上面差不多的，定义：

[fwt(A)_i=sum_{j&i=i}A_i ]

证明也差不多，这里不赘述了。

那么，算的话就是：

[fwt(A)= egin{cases} (fwt(A_1)+fwt(A_2),fwt(A_2))&n>0\ A_0&n=0 end{cases} ]

只要考虑按位与的性质，高位为(1)时只能选高位为(1)的，否则都能选。

代码：

void fwt_and(int *r) {
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
		for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
			for(int k=0;k<i;k++)
                r[j+k]=(r[i+j+k]+r[j+k])%mod;
}

异或(xor)卷积

这里的定义就不是很相同了。

定义：

[fwt(A)_i=sum_{j=0}^{n}(-1)^{cnt(i&j)}A_j ]

其中，(i&j)表示按位与，(cnt(x))表示(x)二进制下(1)的个数。(这到底是怎么想到的。。)

带进去交换下枚举顺序可得：

[egin{align} fwt(C)_i&=sum_{j=0}^{n}(-1)^{cnt(i&j)}C_j\ &=sum_{j=0}^{n}(-1)^{cnt(i&j)}sum_{aoplus b=j}A_aB_b\ &=sum_{a=0}^{n}A_asum_{b=0}^{n}B_b(-1)^{cnt(i&(aoplus b))} end{align} ]

我们考虑下指数上的那一块东西：(cnt(i&(aoplus b)))，分情况讨论下这个与(cnt(i&a)+cnt(i&b))的关系：（由于多位和一位没有区别，这里只讨论一位）

若(i)为(0)，显然这一位不计入答案，不管。

若(a,b)都为(1)的话，(aoplus b=0)，不计入答案，但是注意到这里是((-1))的指数，其实((-1)^0=(-1)^2)，不妨看做是(2)，那么这两个相等。

若(a,b)有一个为(1)，前后显然相等，都为(1)。

若(a,b)都为(0)，显然也相等，都为(0)。

所以式子可以改写成这样：

[egin{align} fwt(C)_i&=sum_{a=0}^{n}A_asum_{b=0}^{n}B_b(-1)^{cnt(i&a)+cnt(i&b)}\ &=sum_{a=0}^{n}(-1)^{cnt(i&a)}A_asum_{b=0}^{n}(-1)^{cnt(i&b)}B_b\ &=fwt(A)_icdot fwt(B)_i end{align} ]

所以，证毕。

那么，快速做这个的式子：

[fwt(A)= egin{cases} (fwt(A_1)+fwt(A_2),fwt(A_1)-fwt(A_2))&n>0\ A_0&n=0 end{cases} ]

具体的，考虑前一半的时候，最高位为(0)，直接加起来就好了。

对于后一半，最高位为(1)，如果选的数最高位也为(1)，(cnt)就多了(1)，也就是整体多乘了个(-1)，所以就是(fwt(A_1)-fwt(A_2))。

代码：

void fwt_xor(int *r) {
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
		for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
			for(int k=0;k<i;k++) {
				int x=r[j+k],y=r[i+j+k];
                r[j+k]=(x+y)%mod,r[i+j+k]=(x-y)%mod;
			}
}

逆沃尔什变换

知道了上面的，这玩意其实就很简单了。

对于按位或，就是知道了(fwt(A_1))和(fwt(A_1)+fwt(A_2))，求出两个分别是多少，直接减一下就完了：

[ifwt(A)=(ifwt(A_1),ifwt(A_2)-ifwt(A_1)) ]

对于按位与，也差不多：

[ifwt(A)=(ifwt(A_1)-ifwt(A_2),ifwt(A_2)) ]

对于异或，是知道(fwt(A_1)+fwt(A_2))和(fwt(A_1)-fwt(A_2))，那么加起来除以(2)就是第一个，减一下除以(2)就是第二个，即：

[ifwt(A)=(frac{ifwt(A_1)+ifwt(A_2)}{2},frac{ifwt(A_1)-ifwt(A_2)}{2}) ]

模板

给一个模板大全吧，题目来自luogu4717。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('
');}

const int maxn = 2e5+10;
const int mod = 998244353;
const int inv2 = 499122177;

int bit,n,a[maxn],b[maxn],c[maxn],ina[maxn],inb[maxn];

void fwt_or(int *r,int op) {
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
		for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
			for(int k=0;k<i;k++)
				if(op==1) r[i+j+k]=(r[i+j+k]+r[j+k])%mod;
				else r[i+j+k]=(r[i+j+k]-r[j+k])%mod;
}

void fwt_and(int *r,int op) {
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
		for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
			for(int k=0;k<i;k++)
				if(op==1) r[j+k]=(r[i+j+k]+r[j+k])%mod;
				else r[j+k]=(r[j+k]-r[i+j+k])%mod;
}

void fwt_xor(int *r,int op) {
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
		for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
			for(int k=0;k<i;k++) {
				int x=r[j+k],y=r[i+j+k];
				if(op==1) r[j+k]=(x+y)%mod,r[i+j+k]=(x-y)%mod;
				else r[j+k]=1ll*(x+y)*inv2%mod,r[i+j+k]=1ll*(x-y)*inv2%mod;
			}
}

int main() {
	read(bit);n=1<<bit;
	for(int i=0;i<n;i++) read(ina[i]);
	for(int i=0;i<n;i++) read(inb[i]);
	// or
	memcpy(a,ina,sizeof ina);memcpy(b,inb,sizeof inb);
	fwt_or(a,1),fwt_or(b,1);for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
	fwt_or(a,-1);for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",(a[i]+mod)%mod);puts("");
	// and 
	memcpy(a,ina,sizeof ina);memcpy(b,inb,sizeof inb);
	fwt_and(a,1),fwt_and(b,1);for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
	fwt_and(a,-1);for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",(a[i]+mod)%mod);puts("");
	// xor
	memcpy(a,ina,sizeof ina);memcpy(b,inb,sizeof inb);
	fwt_xor(a,1),fwt_xor(b,1);for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*b[i]%mod;
	fwt_xor(a,-1);for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",(a[i]+mod)%mod);puts("");
	return 0;
}