min-max容斥(极值反演)
(min-max)容斥是说一个这样的式子：
[max{S}=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1}min{T}
]
[min{S}=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1}max{T}
]
其中(min{S})表示(S)集合中的最小元素，(max{S})表示最大元素。
第一个式子证明如下：
我们尝试着给式子配上一个容斥系数(f)，那么写出来就是：
[max{S}=sum_{Tsubseteq S}f(|T|)min{T}
]
考虑第(x+1)大的元素被统计到的次数，我们可以枚举有多少个集合的最小值为第(x+1)大的元素，就是说我们只把前(x+1)个元素拿出来，可以得到：
[res=sum_{i=1}^{x+1}inom{x}{i-1}f(i)=sum_{i=0}^{x}inom{x}{i}f(i+1)
]
那么我们现在只想把最大的容斥出来，有：
[[x=0]=sum_{i=0}^{x}inom{x}{i}f(i+1)
]
二项式反演一下可得：
[f(x+1)=sum_{i=0}^{x}(-1)^{x-i}inom{x}{i}[i=0]
]
注意这里是把左边当成了(g(x)=[x=0])。
那么化简就是：
[f(x+1)=(-1)^x
]
即：
[f(x)=(-1)^{x-1}=(-1)^{x+1}
]
证毕。
广义min-max容斥
这玩意说白了就是这个式子：
[max_k(S)=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1}inom{|T|-1}{k-1}min(T)
]
其中(max_k(S))表示(S)集合中第(k)大的值是多少。
证明如下：
考虑我们还是想把它容斥出来，那么尝试着配个容斥系数(f(|T|))，则：
[max_k(S)=sum_{Tsubseteq S}f(|T|)min(T)
]
同上，考虑第(x+1)大的元素被统计了多少次，可得：把式子抄过来
[res=sum_{i=1}^{x+1}inom{x}{i-1}f(i)=sum_{i=0}^{x}inom{x}{i}f(i+1)
]
我们是想把第(k)大的容斥出来，其他的都不要，则：
[sum_{i=0}^{x}inom{x}{i}f(i+1)=[x=k-1]
]
设后面的为(g(x)=[x=k-1])，二项式反演可得：
[f(x+1)=sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}inom{x}{i}g(i)=sum_{i=0}^x(-1)^{x-i}inom{x}{i}[i=k-1]
]
化简可得：
[f(x+1)=(-1)^{x-k+1}inom{x}{k-1}
]
即：
[f(x)=(-1)^{x-k}inom{x-1}{k-1}
]
得证。
看上面的感觉这玩意还是没有什么用，但是最有用的一点是这玩意在期望的意义下成立，即：
[E(max{S})=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1}E(min{T})
]
[E(max_k(S))=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|+1}inom{|T|-1}{k-1}E(min(T))
]
具体的应用可以看一下下面的习题。
习题
min-max容斥
[LOJ#2542] [PKUWC2018] 随机游走，sol.
广义min-max容斥