题目链接
BZOJ：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2655
Solution
设(f_i)表示长度为(i)的序列个数，(g_{i,x})表示含有(x)的序列个数，注意这里不考虑顺序，顺序答案直接乘(n!)就好了。
首先很显然可以得到：
[f_i=frac{1}{n}sum_{x=1}^{A}g_{i,x}
]
我们尝试向(f_i)中添加一个(x)，可以得到：
[xf_i=xg_{i,x}+g_{i+1,x}
]
把这个式子变一下：
[g_{i,x}=xf_{i-1}-xg_{i-1,x}
]
注意到这是个递归的形式，可以得到：
[g_{n,x}=sum_{i=1}^{n}(-1)^{i-1}x^if_{n-i}
]
根据第一个式子累和：
[f_n=frac{1}{n}sum_{i=1}^Ag_{n,x}=frac{1}{n}sum_{i=1}^{A}sum_{j=1}^{n}(-1)^{j-1}i^{j}f_{n-j}=frac{1}{n}sum_{j=1}^{n}left((-1)^{j-1}sum_{i=1}^{A}i^j
ight)f_{n-j}
]
注意中间是一个只和(j)有关的式子，我们可以插值做到(O(n))算一次。
那么我们预处理中间，其他的爆算就好了，复杂度(O(n^2))。
注意我代码偷懒多了个(log)，但是不影响。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('
');}
#define lf double
#define ll long long
#define pii pair<int,int >
#define vec vector<int >
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fr first
#define sc second
#define FOR(i,l,r) for(int i=l,i##_r=r;i<=i##_r;i++)
const int maxn = 600+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
int g[maxn],f[maxn],y[maxn],mod,fac[maxn],ifac[maxn],inv[maxn],suf[maxn],pre[maxn];
int qpow(int a,int x) {
int res=1;
for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(x&1) res=1ll*res*a%mod;
return res;
}
int power_sum(int n,int k) {
fac[0]=ifac[0]=1;k+=2;
for(int i=1;i<=k;i++) y[i]=(y[i-1]+qpow(i,k-2))%mod;
for(int i=1;i<=k;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,ifac[i]=qpow(fac[i],mod-2);
pre[0]=1;for(int i=1;i<=k;i++) pre[i]=1ll*pre[i-1]*(n-i)%mod;
suf[k+1]=1;for(int i=k;i;i--) suf[i]=1ll*suf[i+1]*(n-i)%mod;
int res=0;
for(int i=1;i<=k;i++) res=(res+1ll*(((k-i)&1)?-1:1)*y[i]*pre[i-1]%mod*suf[i+1]%mod*ifac[i-1]%mod*ifac[k-i]%mod)%mod;
return (res+mod)%mod;
}
int A,n;
int main() {
read(A),read(n),read(mod);
for(int i=0;i<=n;i++) g[i]=((i&1)?1:-1)*power_sum(A,i);
f[0]=1;int t=1;
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=i;j++)
f[i]=(f[i]+1ll*g[j]*f[i-j])%mod;
f[i]=1ll*f[i]*qpow(i,mod-2)%mod;
t=1ll*t*i%mod;
}
write((1ll*f[n]*t%mod+mod)%mod);
return 0;
}