Description
在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。
现在他想计算这样一个函数的值:$$f(n)=sum_{i=0}{n}sum_{j=0}{i}S(i,j)2^j(j!)$$
S(i, j)表示第二类斯特林数，递推公式为:
S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1。
边界条件为：S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i)
你能帮帮他吗?
Input
输入只有一个正整数
Output
输出f(n)。由于结果会很大，输出f(n)对998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的结果即可。1 ≤ n ≤ 100000
Sample Input
3
Sample Output
87
solution
[f(n)=sum_{i=0}^nsum_{j=0}^iS(i,j)*2^j*j!$$ $$=sum_{i=0}^nsum_{j=0}^nS(i,j)*2^j*j!
]
枚举上限变为n是因为i>j时S为0，方便推式子
然后把斯特林数展开，这步不懂的可以上百度，有证明$$=sum_{i=0}nsum_{j=0}n2jsum_{k=0}j(-1)kinom{j}{k}(j-k)i$$
再把组合数展开
[=sum_{i=0}^nsum_{j=0}^n2^jsum_{k=0}^j(-1)^kfrac{j!}{k!(j-k)!}(j-k)^i
]
改变一下枚举顺序
[=sum_{j=0}^n2^j*j!sum_{k=0}^{j}frac{(-1)^k}{k!}*frac{sum_{i=0}^{n}(j-k)^i}{(j-k)!}
]
定义
[g(x)=frac{(-1)^x}{x!},h(x)=frac{sum_{i=0}^nx^i}{x!}
]
然后原式变为
[f(x)=sum_{j=0}^n2^j*j!sum_{k=0}^{j}g(k)*h(j-k)
]
可以发现后面一部分是一个卷积形式
然后直接上ntt
最后
[c(j)=sum_{k=0}^{j}g(k)*h(j-k)
]
[f(x)=sum_{j=0}^n2^j*j!*c(j)
]
就可以算答案了
note：$$S(n,m)=frac{1}{m!}sum_{k=0}m(-1)kinom{m}{k}(m-k)^n$$
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma GCC optimize(3)
#define mod 998244353
#define int long long
#define maxn 2000050
#define read(x) scanf("%lld",&x)
#define write(x) printf("%lld
",x)
int n,c[maxn],f[maxn],g[maxn],h[maxn],m,nn,pos[maxn],k,Inv,invn;
int qpow(int a,int x){
int res=1;a%=mod;
for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%mod)if(x&1)res=1ll*res*a%mod;
return res;
}
int inv(int x){return qpow(x,mod-2);}
void ntt(int *a,int op){
for(int i=1;i<n;i++) if(pos[i]>i) swap(a[pos[i]],a[i]);
for(int i=2;i<=n;i<<=1){
int wn=qpow(op==1?3:Inv,(mod-1)/i);
for(int j=0;j<n;j+=i){
int w=1;
for(int k=0;k<(i>>1);k++){
int x=a[k+j]%mod,y=a[(i>>1)+k+j]*w%mod;
a[k+j]=(x+y)%mod,a[(i>>1)+k+j]=(x-y+mod)%mod;
w=w*wn%mod;
}
}
}
if(op==1) return ;
for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*invn%mod;
}
void solve(){
Inv=qpow(3,mod-2);
read(n);g[0]=1;int x=1;h[0]=1,h[1]=n+1;
for(int i=1;i<=n;i++) g[i]=(-g[i-1]*inv(i)%mod+mod)%mod;
for(int i=2;i<=n;i++) x=x*i%mod,h[i]=(inv(x)*(1-qpow(i,n+1))%mod*inv(1-i+mod)%mod+mod)%mod;
nn=n;m=n*2;for(n=1;n<=m;n<<=1)k++;
for(int i=1;i<=n;i++) pos[i]=(pos[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1));invn=inv(n);
ntt(g,1),ntt(h,1);
for(int i=0;i<n;i++) g[i]=g[i]*h[i]%mod;
ntt(g,-1);
x=1;int q=1;int ans=1;
for(int i=1;i<=nn;i++) x=x*i%mod,q=q*2%mod,ans=(ans+x*q%mod*g[i]%mod)%mod;
write(ans);
}
#undef int
int main(){solve();}