Luogu P4707 重返现世

题目描述

为了打开返回现世的大门，Yopilla 需要制作开启大门的钥匙。Yopilla 所在的迷失大陆有 (n) 种原料，只需要集齐任意 (k) 种，就可以开始制作。

Yopilla 来到了迷失大陆的核心地域。每个单位时间，这片地域就会随机生成一种原料。每种原料被生成的概率是不同的，第 ii种原料被生成的概率是$ frac{p_i}{m} $。如果 Yopilla 没有这种原料，那么就可以进行收集。

Yopilla 急于知道，他收集到任意 kk 种原料的期望时间，答案对 (998244353) 取模。

输入输出格式

输入格式：

第一行三个数 (n, k, m)。

第二行 nn 个数 (p_1, p_2, ..., p_np1,p2,...,pn) 。

输出格式：

输出一行。

输入输出样例

输入样例#1：

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3 3 3
1 1 1

输出样例#1：

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499122182

说明

对于 (10 \%) 的数据，(p_1 = p_2 = ... = p_m) 。

对于另外 (10 \%) 的数据，(k = n)。

对于 (70 \%) 的数据，(n le 100)。

对于 (100 \%)的数据，(1 le n le 1000),(1 le k le n, lvert n - k vert le 10，0 le p_i le m, sum p = m, 1 le m le 100000)

min-max反演的推广：kth min-max反演。

下面的证明转载自这位dalao的博客：https://blog.csdn.net/ez_2016gdgzoi471/article/details/81416333。

我们考虑构造一个容斥系数(f(x))，使得

[kthmax(S)=sum_{T⊆S}f(|T|)min(T) ]

$考虑第x+1大的元素会被统计到的贡献。 ( )这个贡献为sum_{i=0}^{x}C_{x}^{i}f(i+1) ( 上面这个式子就是说前)x(大的元素选或不选都无所谓，然后必选第)x+1$大的元素的方案数。

则

[[x==k-1]=displaystylesum_{i=0}^{x}C_{x}^{i}f(i+1) ]

二项式反演一下

[f(x+1)=displaystylesum_{i=0}^{x}(-1)^{x-i}C_{x}^{i}[i==k-1] ]

得到

[f(x+1)=(-1)^{x-(k-1)}C_{x}^{i-1} ]

因此

[f(x)=(-1)^{x-k}C_{x-1}^{k-1} ]

综上，

[kthmax(s)=displaystylesum_{T subseteq S}f(|T|)min(T)\ =sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}min(T) ]

---

本题就是求第((n-k+1))大的物品的出现的期望值。

我们直接套公式：

[kthmax(s)displaystyle=sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-k}C_{|T|-1}^{k-1}min(T) ]

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显然：(min(T)=frac{m}{displaystylesum_{i in S}p_i})。

然而天真的我以为可以直接将这个值DP出来，然后做自闭了。所以遇到这种非线性的求和还是不要乱来...

然后直接贴dalao的题解（逃）：https://www.cnblogs.com/Trrui/p/9994668.html