[SDOI2015]序列统计
题目描述
小C有一个集合(S)，里面的元素都是小于(M)的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为(N)的数列，数列中的每个数都属于集合(S)。小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：给定整数(x)，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积(mod M)的值等于(x)的不同的数列的有多少个。小C认为，两个数列({A_i})和({B_i})不同，当且仅当至少存在一个整数i，满足(A_i≠B_i)。另外，小C认为这个问题的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案(mod 1004535809)的值就可以了。
输入输出格式
输入格式：
一行，四个整数，(N、M、x、|S|)，其中(|S|)为集合S中元素个数。第二行，(|S|)个整数，表示集合(S)中的所有元素。
输出格式：
一行，一个整数，表示你求出的种类数(mod 1004535809)的值。
输入输出样例
输入样例#1：
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4 3 1 2
1 2
输出样例#1：
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8
说明
【样例说明】
可以生成的满足要求的不同的数列有(1,1,1,1)、(1,1,2,2)、(1,2,1,2)、(1,2,2,1)、(2,1,1,2)、(2,1,2,1)、(2,2,1,1)、(2,2,2,2)。
【数据规模和约定】
对于10%的数据，(1le Nle 1000)；
对于30%的数据，(3le Mle 100)；
对于60%的数据，(3le Mle 800)；
对于全部的数据，(1le Nle 10^9，3le Mle 8000，M为质数，1le xle M-1)，输入数据保证集合(S)中元素不重复
我们构造函数(A(x)=sum_{i}[iin S]x^i)，答案就是(A)自卷(N)次过后第(x)项的系数。
不过这个卷积不太寻常：(displaystyle c(x)=sum_{i=1}^Msum_{j=1}^M[i*j\% M==x]cdot a(i)cdot b(j))。
除法非常难处理，于是我们考虑转化为我们熟悉的加法。将乘法转化为加法，很容易就想到质数函数。我们设幂为(g)，则(g^{a*b}=g^a+g^b)。我们对于没个数(i)，我们取(x)为它的代表元，满足(g^x\%M==i)。
考虑选取原根(g)，因为(g^x)在(xin[1,M-1])时两两不同。
于是我们将0舍去，然后就可以将乘法卷积转化为加法卷积了。具体实现要用到快速幂，每次卷积一次后，要将下标(xge M-1)的部分的值累加在(x-(M-1))下标的位置上。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define MAXM 8005
#define mod 1004535809
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int n,m,x,num;
ll ksm(ll t,ll x,ll M) {
ll ans=1;
for(;x;x>>=1,t=t*t%M)
if(x&1) ans=ans*t%M;
return ans;
}
ll Find(ll m) {
if(m==2) return 1;
for(int i=2;i<=m-1;i++) {
int flag=1;
for(int j=2;j*j<m;j++) {
if(ksm(i,(m-1)/j,m)==1) {
flag=0;
break;
}
}
if(flag==1) return i;
}
}
int id[MAXM];
int rev[MAXM<<2];
void NTT(ll *a,int d,int flag) {
static const ll G=3;
int n=1<<d;
for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<d-1);
for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int s=1;s<=d;s++) {
int len=1<<s,mid=len>>1;
ll w=flag==1?ksm(G,(mod-1)/len,mod):ksm(G,mod-1-(mod-1)/len,mod);
for(int i=0;i<n;i+=len) {
ll t=1;
for(int j=0;j<mid;j++,t=t*w%mod) {
ll u=a[i+j];
ll v=t*a[i+j+mid]%mod;
a[i+j]=(u+v)%mod;
a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;
}
}
}
if(flag==-1) {
ll inv=ksm(n,mod-2,mod);
for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;
}
}
ll a[MAXM<<2];
ll f[MAXM<<2],ans[MAXM<<2];
void mul(ll *a,ll *b,int d) {
for(int i=0;i<(1<<d);i++) a[i]=a[i]*b[i]%mod;
NTT(a,d,-1);
for(int i=0;i<m-1;i++) (a[i]+=a[i+m-1])%=mod,a[i+m-1]=0;
}
void ksm(int k) {
ans[0]=1;
int d=ceil(log2(m*2));
for(;k;k>>=1) {
if(k&1) {
NTT(ans,d,1),NTT(f,d,1);
mul(ans,f,d);
NTT(f,d,-1);
}
NTT(f,d,1);
mul(f,f,d);
}
}
int main() {
n=Get(),m=Get(),x=Get(),num=Get();
ll g=Find(m);
ll now=1;
for(int i=0;i<m-1;i++) {
id[now]=i;
now=now*g%m;
}
int a;
for(int i=1;i<=num;i++) {
a=Get();
if(a) f[id[a]]=1;
}
ksm(n);
cout<<ans[id[x]];
return 0;
}