无根树的计数——prufer序列

参考博客https://www.cnblogs.com/dirge/p/5503289.html

（1）prufer数列是一种无根树的编码表示，类似于hash。

一棵n个节点带编号的无根树，对应唯一串长度为n-2的prufer编码。所以一个n阶完全图的生成树个数就是。

首先定义无根树中度数为1的节点是叶子节点。

找到编号最小的叶子并删除，序列中添加与之相连的节点编号，重复执行直到只剩下2个节点。

（2）prufer序列转化为无根树。

我们设点集为{1,2...n}。然后我们每次找到点集中没有出现在prufer序列中的最小的点（这一定是这个时刻删除的叶子节点），然后再取出prufer序列中的第一个元素，两个点建边，在将两个点在分别删除。

重要性质：prufer序列中某个编号出现的次数就是这个编号节点的度数-1。

很多时候，无根树树的问题都可以转化为求解prufer序列的问题，从而大大简化了问题。

下面提供了三道例题。

例题：

BSOJ 2503 -- 【HNOI2004】树的计数

Description

　　一个有n个结点的树，设它的结点分别为v1, v2, …, vn，已知第i个结点vi的度数为di，问满足这样的条件的不同的树有多少棵。 
　　给定n，d1, d2, …, dn，编程需要输出满足d(vi)=di的树的个数。

Input

　　第一行是一个正整数n，表示树有n个结点。第二行有n个数，第i个数表示di，即树的第i个结点的度数。其中1<=n<=150，输入数据保证满足条件的树不超过10^17个。

Output

　　输出满足条件的树有多少棵。

Sample Input

4 2 1 2 1

Sample Output

2

Hint

　　

根据“prufer序列中某个编号出现的次数就是这个编号节点的度数-1”这一性质，这道题就变成了给定元素个数的排列问题。

。

代码：
 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
#define ll long long

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n;
ll fac[155];
ll ksm(ll t,ll x) {
	ll ans=1;
	for(;x;x>>=1,t=t*t)
		if(x&1) ans*=t;
	return ans;
}
bool vis[150];
ll pri[150],cnt[150];
void pre(int n) {
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(!vis[i]) pri[++pri[0]]=i;
		for(int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=n;j++) {
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}
}
void work(ll n,int flag) {
	for(int i=1;i<=pri[0];i++) {
		for(int j=pri[i];j<=n;j*=pri[i]) {
			cnt[i]+=flag*n/j;
		}
	}
}
int tot;
ll ans[5000];
void Cheng(int t) {
	for(int i=1;i<=ans[0];i++) ans[i]*=t;
	for(int i=1;i<=ans[0];i++) {
		ans[i+1]+=ans[i]/10;
		ans[i]%=10;
	}
	while(ans[ans[0]+1]) {
		ans[0]++;
		ans[ans[0]+1]+=ans[ans[0]]/10;
		ans[ans[0]]%=10;
	}
}

int main() {
	n=Get();
	pre(n);
	work(n-2,1);
	int a;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		a=Get();
		if(!a&&n>1) {cout<<0;return 0;}
		if(a>1) work(a-1,-1);
		tot+=a;
	}
	if(tot!=(n-1)*2) return cout<<0,0;
	if(n==1) {
		if(tot) cout<<0;
		else cout<<1;
		return 0;
	}
	if(n==2) return cout<<1,0;
	ans[0]=1;
	ans[1]=1;
	for(int i=1;i<=pri[0];i++) 
		for(int j=1;j<=cnt[i];j++) Cheng(pri[i]);
	for(int i=ans[0];i>=1;i--) cout<<ans[i];
	return 0;
}

BSOJ 5553 -- 【模拟试题】wangyurzee的树

Description

wangyurzee有n个各不相同的节点，编号从1到n。wangyurzee想在它们之间连n-1条边，从而使它们成为一棵树。 
可是wangyurzee发现方案数太多了，于是他又给出了m个限制条件，其中第i个限制条件限制了编号为u[i]的节点的度数不能为d[i]。 一个节点的度数，就是指和该节点相关联的边的条数。 这样一来，方案数就减少了，问题也就变得容易了，现在请你告诉wangyurzee连边的方案总数为多少。 答案请对1000000007取模。

Input

第一行输入2个整数n(1<=n<=1000000)，m(0<=m<=17)分别表示节点个数以及限制个数。 
第2行到第m+1行描述m个限制条件，第i+1行为2个整数u[i]，d[i]，表示编号为u[i]的节点度数不能为d[i]。 
为了方便起见，保证1<=ui<=m。同时保证1<=ui<=n，1<=di<=n-1，保证不会有两条完全相同的限制。

Output

输出一行一个整数表示答案。

Sample Input

3 1 1 2

Sample Output

2

显然要容斥。我们就用{总的方案数}-{不满足一个条件的方案数}+{不满足两个条件的方案数}-...

注意有个坑点，就是如果我们枚举的两个条件的u相同，那么方案数直接为0。

然后就是如何计数的问题。假设我们已经定了k个点的度数d[1],d[2]...d[k]。设。那么方案数就是。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
#define ll long long 
#define N 1000005
#define mod 1000000007ll

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m;
int u[20],d[20];
vector<int>st[N];
ll fac[N],ans;
ll ksm(ll t,ll x) {
	ll ans=1;
	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
		if(x&1) ans=ans*t%mod;
	return ans;
}
ll C(int n,int m) {return fac[n]*ksm(fac[m],mod-2)%mod*ksm(fac[n-m],mod-2)%mod;}
bool vis[N];
void dfs(int v,int flag,int n,int res,ll tot) {
	if(v>m) {
		(ans+=flag*tot*ksm(res,n)%mod+mod)%=mod;
		return ;
	}
	dfs(v+1,flag,n,res,tot);
	if(n>=d[v]&&!vis[u[v]]) {
		vis[u[v]]=1;
		dfs(v+1,-flag,n-d[v],res-1,tot*C(n,d[v])%mod);
		vis[u[v]]=0;
	}
}
int main() {
	n=Get(),m=Get();
	int a;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		u[i]=Get();d[i]=Get()-1;
	}
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	dfs(1,1,n-2,n,1);
	cout<<ans;
	return 0;
}

 

BSOJ 5445 -- 【2018雅礼】树

Description

　　有n个点，第i个点的限制为度数不能超过ai。
　　现在对于每一个s(1<=s<=n)，问从这n个点中选出s个点组成有标号无根树的方案数。

Input

　　第一行一个整数表示n。
　　第二行n个整数a1~an。

Output

　　输出仅一行n个整数，第i个整数表示s=i时的答案。

Sample Input

3 2 2 1

Sample Output

3 3 2

Hint

【数据范围】
　　对于20%的数据，n≤6。
　　对于60%的数据，n≤50。
　　对于100%的数据，n≤100。

我们说过，处理无根树计数的问题可以转化为prufer序列的计数问题。

我们设长度为i的prufer序列，用了j个点的方案数。考虑新增一个点v，我们假设它的度数为，然后就可以得到转移方程。

最后特判s=1时，答案是n，s>=2是，答案是。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
#define ll long long
#define mod 1004535809ll
#define N 105

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n;
ll f[N][N],g[N][N],c[N][N],w[N];
int main() {
	n=Get();
	c[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			c[i][j]=(!j||i==j)?1:(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
	f[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		w[i]=Get();
		memcpy(g,f,sizeof(f));
		for(int j=0;j<n;j++) {
			for(int k=0;k<n;k++) {
				if(!f[j][k]) continue ;
				for(int q=0;q<w[i]&&q+j<=n-2;q++) {
					(g[q+j][k+1]+=f[j][k]*c[q+j][q]%mod)%=mod;
				}
			}
		}
		memcpy(f,g,sizeof(f));
	}
	cout<<n<<" ";
	for(int i=2;i<=n;i++) cout<<f[i-2][i]<<" ";
	return 0;
}