BSOJ 3899 -- 【CQOI2014】 数三角形

Description

　　给定一个n*m的网格，请计算三个点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4*4的网格上的一个三角形。 
　　　　　　　　　　
　　注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形的数量。

Sample Input

样例输入1：1 1

样例输入2：2 2

Sample Output

样例输出1：4

样例输出2：76

先求出全集，再去掉三点共线的情况。

那如何枚举三点共线的情况呢？先将横竖两种情况算了，再考虑斜着的。枚举斜着的方法有很多，但比较可行的是先固定两个点，再计算两个点之间的点数。具体实现就是枚举两点的相对位置，也可以理解为向量，然后就有个位置可以当左上角的点。这两点之间的点数就是。最后还要，对称性嘛。

这么枚举的好处是，两点之间的相对位置去确定了之后，中间点的数量就确定了。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
#define ll long long

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

ll n,m;
ll ans,tot;
ll gcd(ll a,ll b) {return !b?a:gcd(b,a%b);}
int main() {
	n=Get(),m=Get();
	n++,m++;
	tot=n*m;
	ans=tot*(tot-1)/2*(tot-2)/3;
	if(n>=3) ans-=n*(n-1)/2*(n-2)/3*m;
	if(m>=3) ans-=m*(m-1)/2*(m-2)/3*n;
	for(int i=1;i<n;i++) {
		for(int j=1;j<m;j++) {
			ans-=(n-i)*(m-j)*(gcd(i,j)-1)*2;
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}