这是一份极其粗糙的莫比乌斯函数学习笔记
- 莫比乌斯反演非常巧妙
玄学，它通过__卷积__，和式变换以及最关键的整数分块的有机结合降低了函数的复杂度。
莫比乌斯函数
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(mu(d)) 的定义：
1.当d=1时，(mu(d)=1)；
2.当d唯一分解后有一个质因数的次数大于1，那么(mu(d)=0)
3.否则，设n可以分解为n个不同的质数相乘，则(mu(d)=(-1)^{n})。
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一些结论：
1.(sum_{d|n}mu(d)=[n==1]),也就是说，n=1时函数值为1，否则为0。这个用二项式定理来证
2.对于任意正整数n,(sum_{d|n}frac{mu(d)}{d}=frac{phi(n)}{n}),证明以后补。
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筛莫比乌斯函数可以用线性筛。
莫比乌斯反演
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定理：
[egin{align*} &设f(n)=sum_{d|n}g(d),\ &则g(n)=sum_{d|n}mu(d)f(lfloor frac{n}{d} floor)。 end{align*} ] -
证明：
[egin{align*} &sum_{d|n}mu(d)f(lfloor frac{n}{d} floor)= \ &sum_{d|n}mu(lfloor frac{n}{d} floor)sum_{i|d}f(i)= \ &sum_{i|n}f(i)sum_{d|lfloor frac{n}{i} floor}mu(d)=f(n) end{align*} ] -
还有一种理解方式就是用狄利克雷卷积（用*表示）来理解莫比乌斯反演。下面直接给出几个定理：
设：
1.(Id(n)=n)
2.(epsilon(n)=[n==1])3.(I(n)=1)
4.(mu 和phi 就不说了)。
结论：
1.(mu *Id=epsilon,这就是sum_{d|n}mu(d)=[n==1]).
2.(mu*Id=phi).这个定理可以用容斥来证明。反过来(mu*Id=phiLongrightarrow Id=sum_{d|n}phi(d))。用卷积可以证明这个常见的结论。
题目