01单人决策问题

本文是根据 Game Theory An Introduction (Steven Tadelis) 一书第一章整理的学习笔记。

博弈问题的本质是决策问题。因此，本书中作者从决策问题开始讲述，并根据决策问题中的一些合理假设来逐步演化得到博弈论问题以及相关理论。由于博弈理论是基于一些假设的框架下建立的，所以这些假设的合理性直接决定了基于这些假设所导出的理论的价值。一个假设如果不合理，基于这样的假设所得出的结论也是没有价值的。计算机科学中有一句名言“garbage in, garbage out”，这句话是说无效数据被输入系统后得到的输出也将是无效的。

一个决策问题包含以下三个特征：

1. Actions 参与者可以选择的所有选项；
2. Outcomes 参与者选择一个动作后可能导致的结果，也即结果；
3. Preferences 参与者对每个可能的结果都有自己的偏好排序，也即偏好关系，其中符号“(x succsim y)”表示对于参与者来说，得到的结果 (x) 至少和结果 (y) 一样好（也可能更好）， (succ) 表示严格的偏好关系，(sim) 表示无偏好（也即每个结果都同样好）。

The completeness Axiom:一个偏好关系 (succsim) 是完备的是指对所有的结果 (x,y in X) 能够用偏好关系来排序，也即要么 (x succsim y) 或者 (y succsim x)。

The Transitivity Axiom:一个偏好关系 (succsim) 是传递的是指对于任意的结果 (x, y, z in X)，如果 (x succsim y) 且 (y succsim z) ，则有 (x succsim z)。

同时满足完备性、传递性的偏好关系被称为理性偏好关系。

在一个集体决策问题中，所有的个体具有理性偏好关系并不一定能保证集体也具备理性的偏好关系。例如：对于 Play 1: (a succsim b succsim c) ；对于 Play 2: (b succsim c succsim a) ；对于 Play 3: (c succsim a succsim b)。那么对于集体{Play 1, Play 2, Play 3} 来说无法确定 (a, b, c) 的偏好关系。

收益函数（payoff function）与偏好关系之间的关系：一个收益函数 (u: ightarrow mathbb{R}) ，以及对于任意的 (x, y in X, x succsim y)， 如果满足 (u(x) geq u(y))，那么 (u) 可以代表偏好关系 (succsim)。

理性选择假设是指参与者完全知晓决策问题的以下四个方面的信息：

1. 所有可能的 actions, A；
2. 所有可能的 outcome, X；
3. 每个 action 是如何影响 outcome 的不同的；
4. 参与者对于不同的 outcome 的理性偏好。

理性行动的定义：一个参与者在面对一个决策问题时，如果他采取了使得他的收益最大化的行动 (a in A) ，那么他的行动被称为是理性的。