堆排序详解

堆排序与快速排序，归并排序一样都是时间复杂度为O(N*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。

二叉堆的定义

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：

由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

堆的存储

一般都用数组来表示堆，i结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 * i + 1和2 * i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

堆的操作——插入删除

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

堆的插入

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：

//  新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2
void MinHeapFixup(int a[], int i)  
{  
	int j, temp;  

	temp = a[i];  
	j = (i - 1) / 2;      //父结点
	while (j >= 0 && i != 0)  
	{  
		if (a[j] <= temp)  
			break;  

		a[i] = a[j];     //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点
		i = j;  
		j = (i - 1) / 2;  
	}  
	a[i] = temp;  
}  

更简短的表达为：

void MinHeapFixup(int a[], int i)  
{  
	for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)  
		Swap(a[i], a[j]);  
}  

插入时：

//在最小堆中加入新的数据nNum
void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)  
{  
	a[n] = nNum;  
	MinHeapFixup(a, n);  
}  

堆的删除

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

//  从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)  
{  
	int j, temp;  

	temp = a[i];  
	j = 2 * i + 1;  
	while (j < n)  
	{  
		if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的
			j++;  

		if (a[j] >= temp)  
			break;  

		a[i] = a[j];     //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点
		i = j;  
		j = 2 * i + 1;  
	}  
	a[i] = temp;  
}  
//在最小堆中删除数
void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)  
{  
	Swap(a[0], a[n - 1]);  
	MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);  
}  

堆化数组

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：

很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A[4]=50开始向下调整就可以了。然后再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：

写出堆化数组的代码：

//建立最小堆
void MakeMinHeap(int a[], int n)  
{  
	for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)  
		MinHeapFixdown(a, i, n);  
}  

至此，堆的操作就全部完成了，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

堆排序

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A[0]与A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将A[0]与A[n – 2]交换，再对A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到A[0]与A[1]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。

void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)  
{  
	for (int i = n - 1; i >= 1; i--)  
	{  
		Swap(a[i], a[0]);  
		MinHeapFixdown(a, 0, i);  
	}  
}  

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N * logN)。

堆排序的完整测试代码：

// 6-4.堆排序.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。
//

#include "stdafx.h"
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;

//add new node,and parents node is (i-1)/2
void MinHeapFixup(int a[],int i)
{
	int j,temp;
	temp=a[i];
	j=(i-1)/2;//parents node
	while(j>=0&&i!=0)
	{
		if (a[j]<=temp)
		{
			break;
		}
		a[i]=a[j];//move down big node,replace small child node
		i=j;
		j=(i-1)/2;
	}
	a[i]=temp;
}

//n is the total of nodes,began at i=0 adjust,child nodes is 2*i+1 ,2*i+2
void MinHeapFixdown(int a[],int i,int n)
{
	int j,temp;
	temp=a[i];
	j=2*i+1;
	while (j<n)
	{
		if (j+1<n&&a[j+1]<a[j])//find the smaller node between children nodes
		{
			j++;
		}
		if (a[j]>=temp)
		{
			break;
		}
		a[i]=a[j];//move up the smaller node,and replace parents node
		i=j;
		j=2*i+1;
	}
	a[i]=temp;
}

//build minheap
void MakeMinHeap(int a[],int n)
{
	for (int i=n/2-1;i>=0;i--)
	{
		MinHeapFixdown(a,i,n);
	}
}

void MinHeapsort(int a[],int n)
{
	MakeMinHeap(a,n);
	for (int i=n-1;i>=1;i--)
	{
		swap(a[i],a[0]);
		MinHeapFixdown(a,0,i);//adjust again
	}
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int a[]={9,12,17,30,50,20,60,65,4,49};
	MinHeapsort(a,10);
	for (int i=0;i<10;i++)
	{
		cout<<a[i]<<" ";
	}
	cout<<endl;
	return 0;
}