luogu3941 入阵曲

题目大意

给出一个$m$排$n$列的矩阵，求有多少个子矩阵满足子矩阵内的数字和为$k$的倍数。$m,n<=400, k<=10^6$。

思路

先考虑简单的问题。

把矩阵换为线段，子矩阵换为子线段。对于原序列$a$，很容易我们想到用序列$s$来维护区间的前缀和。若区间$[l,r]$内数字和为$k$的倍数，则$s_{r}-s_{l-1}$能整除以$K$。

以同余的观念处理整除问题。

$(s_{r}-s_{l-1})mod k=0$。由上式我们可以推出$s_{r}equiv s_{l-1} (mod K)$。所以以$r$为结尾的满足条件的区间数$f(r)|{i|i<r,s_{i}equiv s_{r}(mod K)}|$。

反演的思想

我们可以考虑对所有的余数$r$设置一个数组$b$表示到当前存在的$s_{i}mod K=r$的个数，从左到右枚举下标$i$，则$f(i)=b(s_{i}mod K)$，然后$b(s_{i}mod K)++$。最终的结果就是$sum f(i)$。注意：若$s_{i}mod K=0$，则区间$[i,i]$也是一个解。故$b(0)=1$。

扩展到二维

枚举上面的一排和下面的一排，把夹在两排中间的列中数字和作为$a$即可。

注意

• 清空数组$b$（在代码中指ModCnt）数据量很大，memset很慢。我们应当改了ModCnt的哪些值，就还原哪些值，不要全部处理。
• 以后尽量不要用MAX_N。数组大小设错的后果是很严重的！

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define LOOP(i, n) for(int i=1; i<=n; i++)
#define LoopFrom(i, l, r) for(int i=l; i<=r; i++)
#define ll long long

const int MAX_ROW = 410, MAX_COL = 410, MAX_MOD = 1000010;
ll Prefix[MAX_ROW][MAX_COL];
ll ModCnt[MAX_MOD];
ll Mods[MAX_COL];
ll TotRow, TotCol, K;

void Read()
{
	scanf("%lld%lld%lld", &TotRow, &TotCol, &K);
	LOOP(row, TotRow)
	{
		LOOP(col, TotCol)
		{
			scanf("%lld", &Prefix[row][col]);
			Prefix[row][col] += Prefix[row - 1][col] + Prefix[row][col - 1] - Prefix[row - 1][col - 1];
		}
	}
}

ll Proceed()
{
	ll ans = 0;
	LOOP(rowUp, TotRow)
	{
		LoopFrom(rowDown, rowUp, TotRow)
		{
			//memset(ModCnt, 0, sizeof(ModCnt));
			ModCnt[0] = 1;
			LOOP(col, TotCol)
			{
				ll colPrefix = Prefix[rowDown][col] - Prefix[rowUp - 1][col];
				Mods[col] = colPrefix % K;
				ans += ModCnt[Mods[col]]++;
			}
			LOOP(col, TotCol)
				ModCnt[Mods[col]] = 0;
		}
	}
	return ans;
}

int main()
{
	ll ans = 0;
	Read();
	printf("%lld
", Proceed());
	return 0;
}