luogu1641 [SDOI2010]生成字符串

题目大意

　　把$n$个$1$和$m$个$0$组成字符串，在任意的前$k$个字符中，$1$的个数不能少于$0$的个数。求这样的字符串的个数。$1leq mleq nleq 1000000$。

原始模型

　　在坐标网格中，规定一个合法的路径如下：1. 起点为$(0, 0)$，终点为$(n, m)$；2. 该路径是个曼哈顿路径；3. 该路径在直线$l:y=x$的下方，且不接触$l$。求合法的路径的种类数。

　　这类题的入手点在于：所有合法的路径都会经过点$(1,0)$，起点为$(1,0)$终点为$(n,m)$的曼哈顿路径数为$C_{n+m-1}^m$。而我们要在此基础上去除掉中途经过直线$l$的种类数。我们知道，起点为$(0,1)$，终点为$(n,m)$的曼哈顿路径（设组成的集合为$A$）一定经过直线$l$，这个交点最小可以到达$(1,1)$。而所有经过$(1,0)$且不合法的路径（设组成的集合为$B$）必然也经过直线$l$，交点最小为$(1,1)$，所以对于任意一条路径$pin B$，如果$p'$是$p$把$(0,0)$至与$l$最后一个交点的部分按照直线$l$翻折得到的路径，则$p'in A$。同理可得$A,B$满足一一映射关系。对于$forall p'in A$，其必须要向上走$m-1$步，总共要走$n+m-1$步，所以不合法的情况为$C_{n+m-1}^{m-1}$

　　综上所述，结果为$C_{n+m-1}^m - C_{n+m-1}^{m-1}$

本题题解

　　选1相当于向右走一格，选0相当于向上走一格，原先的条件便变成了可接触$l$。咱们把$y=x$改为$y=x+1$，同理可得答案为$C_{n+m}^m - C_{n+m}^{m-1}$。用预处理阶乘、乘法逆元、组合数通项公式等即可求解。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
const int MAX_N = 2000010;
const ll P = 20100403;
ll Fact[MAX_N];

void GetFact()
{
	Fact[1] = 1;
	for (int i = 2; i < MAX_N; i++)
		Fact[i] = Fact[i - 1] * i % P;
}

ll Mult(ll a, ll b)
{
	ll ans = 0;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			ans = (ans + a) % P;
		a = (a + a) % P;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

ll Power(ll a, ll n)
{
	ll ans = 1;
	while (n)
	{
		if (n & 1)
			ans = Mult(ans, a);
		a = Mult(a, a);
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}

ll Inv(ll x)
{
	return Power(x, P - 2);
}

ll C(int n, int r)
{
	return Fact[n] * Inv(Fact[r] * Fact[n - r] % P) % P;
}

int main()
{
	GetFact();
	int n, m;
	scanf("%d%d", &n, &m);
	printf("%lld
", ((C(m + n, m) - C(m + n, m - 1)) % P + P) % P);
	return 0;
}