理解模型正则化：L1正则、L2正则（理论+代码）
0 前言
我们已经知道了模型误差 = 偏差 + 方差 + 不可避免的误差，且在机器学习领域中最重要就是解决过拟合的问题，也就是降低模型的方差。在上一篇文章《ML/DL重要基础概念：偏差和方差》已经列出了如下方法：
- 降低模型复杂度
- 减少数据维度；降噪
- 增加样本数
- 使用验证集
其实还有一个降低方差的重要方法：模型正则化。本文从理论及代码两个方面对L1正则、L2正则进行了介绍，帮助大家了解其背后的原理以及实际的使用方法。
1 学习模型正则化
1.1 什么是模型正则化
模型正则化（Regularization），对学习算法的修改，限制参数的大小，减少泛化误差而不是训练误差。我们在构造机器学习模型时，最终目的是让模型在面对新数据的时候，可以有很好的表现。当你用比较复杂的模型比如神经网络，去拟合数据时，很容易出现过拟合现象(训练集表现很好，测试集表现较差)，这会导致模型的泛化能力下降，这时候，我们就需要使用正则化，降低模型的复杂度。
正则化的策略包括： 约束和惩罚被设计为编码特定类型的先验知识 偏好简单模型 其他形式的正则化，如：集成的方法，即结合多个假说解释训练数据
在实践中，过于复杂的模型不一定包含数据的真实的生成过程，甚至也不包括近似过程，这意味着控制模型的复杂程度不是一个很好的方法，或者说不能很好的找到合适的模型的方法。实践中发现的最好的拟合模型通常是一个适当正则化的大型模型。
1.2 模型的过拟合
准备一下数据
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.random.uniform(-3, 3, size=100)
X = x.reshape(-1, 1)
y = 0.5 + x**2 + x + 2 + np.random.normal(0, 1, size=100)
plt.scatter(x, y)
下面我们要使用多项式回归过拟合一个样本，生成的曲线非常弯曲、陡峭。前面的参数会非常大，正则化要完成的，就是要限制这些系数的大小。
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.model_selection import train_test_split
lin_reg = LinearRegression()
def PolynomialRegression(degree):
return Pipeline([
('poly',PolynomialFeatures(degree)),
('std_scaler',StandardScaler()),
('lin_reg',lin_reg)
])
np.random.seed(666)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X,y)
poly30_reg = PolynomialRegression(degree=30)
poly30_reg.fit(X_train,y_train)
y30_predict = poly30_reg.predict(X_test)
mean_squared_error(y_test,y30_predict)
# 输出：2.8492121876294063
X_plot = np.linspace(-3,3,100).reshape(100,1)
y_plot = poly30_reg.predict(X_plot)
plt.scatter(X,y)
plt.plot(X_plot[:,0],y_plot,color='r')
plt.axis([-3,3,0,10])
plt.show()
在拟合完之后，就是非常明显的过拟合的效果，即目标函数为了尽可能地去拟合数据，减小模型和样本的误差，使得曲线变得很陡峭，在数学上就表示为线性方程前面的系数很大。
那么模型正则化如何解决上述问题呢？
2 L1正则化
所谓的L1正则化，就是在目标函数中加了L1范数这一项。使用L1正则化的模型建叫做LASSO回归。
2.1 LASSO回归思路
线性回归问题去怎样求最优解，其目标相当于：
使尽可能小。
这也就是等同于求原始数据和使用参数
预测的
的均方误差尽可能的小：
使尽可能小。
如果模型过拟合的话，参数就会非常大。为了限制参数
，我们改变损失函数，加入模型正则化，即将其改为：
使尽可能小。
这样的话，要使尽可能小，就要综合考虑两项，对于第二项来说，是
的绝对值，因此我们要考虑让
尽可能小。这样参数
就限制住了，曲线也就没有那么陡峭了，这就是一种模型正则化的基本原理。
且该模型正则化的方式被称为“LASSO回归”（Least Absolute Shrinkage and Selection Operator Regression）
在这里有几个细节需要注意：
，取值范围是1～n，即不包含
。这是因为，
- 对于超参数
alpha系数，在模型正则化的新的损失函数中，要让每个都尽可能小的程度占整个优化损失函数程度的多少。即
alpha的大小表示优化的侧重。
2.2 L1正则化项与稀疏性
我们说，LASSO回归的全称是：Least Absolute Shrinkage and Selection Operator Regression.
这里面有一个特征选择的部分，或者说L1正则化可以使得参数稀疏化，即得到的参数是一个稀疏矩阵。
所谓稀疏性，说白了就是模型的很多参数是0。通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，很多参数是0，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，即使去掉对模型也没有什么影响，此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。
这相当于对模型进行了一次特征选择，只留下一些比较重要的特征，提高模型的泛化能力，降低过拟合的可能。
假设在二维参数空间中，损失函数的等高线如下图所示
此时，L1正则化为，对应的等高线是一个菱形（我们可以画出多个这样的菱形）：
首先来看一下不加L1正则的情况：我们使用梯度下降法去优化损失函数，随机选择一点，沿着梯度方向下降，得到一个近似的最优解M：
下面加上L1正则，情况则会有所不同。
两点在同一等高线上，即P与Q两个点的损失函数这一项上是相同的。但是
的距离要大于
距离:
可以得到经验损失函数（损失函数+正则项）：
因为点的L1范数小于点
的L1范数，因此我们更倾向于选择点
，而不是点
。
而如果选择点，在直角的顶点上，对应的参数
，这就体现了稀疏性。因此L1正则化会产生系数模型，好处是应用的特征比较小，模型更简单，运算更快。
由此可见：加入L1正则项相当于倾向将参数向离原点近的方向去压缩。直观上来说，就是加上正则项，参数空间会被缩小，意味着模型的复杂度会变小。
2.3 L1正则使用
我们利用第一节得到的数据来对比使用LASSO回归进行正则化的方式。
在sklearn中，包含了一个方法：Lasso。下面我们以Pipeline的方式去封装一个LASSO回归的过程：
from sklearn.linear_model import Lasso
def LassoRegression(degree,alpha):
return Pipeline([
('poly',PolynomialFeatures(degree=degree)),
('std_scaler',StandardScaler()),
('lasso_reg',Lasso(alpha=alpha))
])
在封装好了一个LASSO回归函数后，传入dregree参数和alpha参数，就可以验证LASSO回归的效果了：
lasso_reg1 = LassoRegression(30,0.0001)
lasso_reg1.fit(X_train,y_train)
y1_predict=lasso_reg1.predict(X_test)
mean_squared_error(y_test,y1_predict)
# 输出：0.8965099322966458
plot_model(lasso_reg1)
可以看到，在加入L1正则后，均方误差比原来小，且曲线光滑了很多，效果比较好。
2.4 调参效果
我们保持degree参数不变，调整alpha参数，让其变大，也就是将L1正则项的比重放大，即让参数变小：
lasso_reg2 = LassoRegression(30,0.1)
lasso_reg2.fit(X_train,y_train)
y2_predict=lasso_reg2.predict(X_test)
mean_squared_error(y_test,y2_predict)
# 输出：0.7848672707093821
plot_model(lasso_reg2)
我们发现曲线更加的平滑了，相应的均方误差也变得更小了，说明结果更优了。那么如果继续放大alpha系数呢？
lasso_reg3 = LassoRegression(30,10)
lasso_reg3.fit(X_train,y_train)
y3_predict=lasso_reg3.predict(X_test)
mean_squared_error(y_test,y3_predict)
# 输出：12.007790775597146
plot_model(lasso_reg3)
很明显，我们正则化得有些过了，变成一条直线了。因此，我们需要找到合适的alpha系数，使正则化效果最好。
3 L2正则化
3.1 岭回归思路
除了如L1正则化一般，将参数累加（）以外，很自然地联想到，我们也可以用平方和来做正则项。
即将为：
使尽可能小。
同样地，要使尽可能小，就要综合考虑两项，要考虑让
的平方和尽可能小。
该模型正则化的方式被称为“岭回归”
3.2 L2正则防止过拟合
同样地，在二维参数空间中，L2正则项为：。即L2等高线是一个个的同心圆。
二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此等高线与损失函数相交于点时，
都不为0，但是仍然比较靠近坐标轴。因此这也就是我们说的，L2范数能让解比较小（靠近0），但是比较平滑（不等于0）且不具有稀疏性。
此时和w2都不为0. 所以L2范式得到的不是稀疏解
3.3 L2正则的使用及调参
我们利用第一节得到的数据来对比使用岭回归进行正则化的方式。
在sklearn中，包含了一个岭回归的方法：Ridge。下面我们以Pipeline的方式去封装一个岭回归的过程：
from sklearn.linear_model import Ridge
from sklearn.pipeline import Pipeline
# 需要传入一个多项式项数的参数degree以及一个alpha值
def ridgeregression(degree,alpha):
return Pipeline([
("poly", PolynomialFeatures(degree=degree)),
("standard", StandardScaler()),
("ridge_reg", Ridge(alpha=alpha)) #alpha值就是正则化那一项的系数
])
在封装好了一个岭回归函数后，就可以验证岭回归的效果了：
ridge1_reg = ridgeregression(degree=30,alpha=0.0001)
ridge1_reg.fit(X_train,y_train)
y1_predict = ridge1_reg.predict(X_test)
mean_squared_error(y_test,y1_predict)
# 输出：1.00677921937119
plot_model(ridge1_reg)
我们可以看到输出的均方误差在1左右，比以前的2点多变好了。且通过画图可以看到，曲线变平滑了。
如果我们调整系数，将其变大，意味着对参数的约束又变强了，曲线会更加光滑：
ridge2_reg = ridgeregression(degree=30,alpha=1)
ridge2_reg.fit(X_train,y_train)
y2_predict = ridge2_reg.predict(X_test)
mean_squared_error(y_test,y2_predict)
# 输出：1.0074844695164857
plot_model(ridge2_reg)
如果我们继续增大系数的话，就会正则化得有些过了，其均方误差也会变小。
ridge3_reg = ridgeregression(degree=30,alpha=100)
ridge3_reg.fit(X_train,y_train)
y3_predict = ridge3_reg.predict(X_test)
mean_squared_error(y_test,y3_predict)
# 输出：3.4183903466684176
plot_model(ridge3_reg)
可见LASSO回归和岭回归类似，取值过大反而会导致误差增加，拟合曲线为直线。但是LASSO更趋向于使得一部分的
值为0，拟合曲线更趋向于直线，所以可以作为特征选择来使用，去除一些模型认为不需要的特征。 LASSO可能会去除掉正确的特征，从而降低准确度，但如果特征特别大，使用LASSO可以使模型变小。
总结
L1正则化就是在loss function后边所加正则项为L1范数，加上L1范数容易得到稀疏解（0比较多）。
L2正则化就是loss function后边所加正则项为L2范数的平方，加上L2正则相比于L1正则来说，得到的解比较平滑（不是稀疏），但是同样能够保证解中接近于0（但不是等于0，所以相对平滑）的维度比较多，降低模型的复杂度。