HDU2829

题目大意：给定一个长度为n的序列，至多将序列分成m+1段，每段序列都有权值，权值为序列内两个数两两相乘之和。m<=n<=1000.

分析：令w[i,j]表示区间[i,j]中两两乘积之和,f[i][j]表示前j个数分成i段的最小值。

f[i][j]=f[i-1][k]+w[k+1,j]

w[k+1,j]可以转换为w[1,j]-w[1,k]-sum[k]*(sum[j]-sum[k])

其中sum[j]表示前j个数的前缀和。

f[i][j]=f[i-1][k]+w[j]-w[k]-sum[k]*(sum[j]-sum[k])

令y=f[i-1][k]+w[j]-w[k]+sum[k]^2,x=sum[k],b=sum[j],g=f[i][j],则有：

          y-bx=g

 此为直线方程，b为定值，要求g最小，即为直线的截距最小。平面上有若干点(x,y),这些点是由各个决策点产生的。而将直线从下往上平移，它接触到的第一个点即为最佳决策点。因为斜率b是上升的，所以，下一阶段的直线方程斜率更高，于是最佳决策点一定形成了下凸包序列。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 1005
#define LL long long int
LL f[MAXN][MAXN],w[MAXN],sum[MAXN];
#define FZ(i,p) (f[i-1][p]-w[p]+sum[p]*sum[p])
int n,m,num[MAXN];
int que[MAXN],head,tail;
#define MAXZ (1LL<<22)
bool turnup(int i,int p1,int p2,int p3) //p1>p2>p3 
{
    LL y1=FZ(i,p1);
    LL x1=sum[p1];
    LL y2=FZ(i,p2);
    LL x2=sum[p2];
    LL y3=FZ(i,p3);
    LL x3=sum[p3];
    if((x2-x3)*(y1-y2)>(x1-x2)*(y2-y3))return 1;
        else return 0;
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m)&&(n||m))
    {
        memset(sum,0,sizeof sum);
        memset(w,0,sizeof w);
    m++;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {scanf("%d",&num[i]);
     sum[i]=sum[i-1]+num[i];
        w[i]=w[i-1]+sum[i-1]*num[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        f[1][i]=w[i];
    for(int i=2;i<=m;i++)
    {
        //f[i-1][i-1]=0;
        head=tail=1;
        que[tail++]=i-1;
        for(int j=i;j<=n;j++)
        {
            while(head<tail-1&&FZ(i,que[head+1])-FZ(i,que[head])<sum[j]*(sum[que[head+1]]-sum[que[head]]))head++;
            int k=que[head];
            f[i][j]=f[i-1][k]+w[j]-w[k]-sum[k]*(sum[j]-sum[k]);
            while(head<tail-1&&turnup(i,j,que[tail-1],que[tail-2])==0)
                tail--;
            que[tail++]=j;
        }
    }
    /*
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {for(int j=1;j<=n;j++)
            printf("%I64d ",f[i][j]);
        printf("
");
    }
    */
    printf("%I64d
",f[m][n]);
}
}

本题也可以用平行四边形优化。

f[i][j]=f[i-1][k]+w[k+1,j]

w[k+1,j]很明显满足区间包含性质和平行四边形性质,所以f[i][j]也满足平行四边形性质，所以设s[i][j]表示f[i][j]的最佳决策点。s[i-1][j]<=s[i][j]<=s[i][j+1]。

从常识角度来思考，也是比较好想的。

如果数组元素不变，分段数增加，肯定分界点会往两边扩展，若分段数减少，则分界点会往中间靠拢，所以s[i][j]<=s[i+1][j]

如果分段数不变，数的个数增加（右边补充进来），分界点应该往右微调；如果数的个数减少（从右边剔除），分界点应该往左微调，所以有s[i][j-1]<=s[i][j]

所以s[i-1][j]<=s[i][j]<=s[i][j+1]

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define MAXN 1005
#define MAXM 1005
#define LL long long int
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
LL f[MAXN][MAXM],sum[MAXN],w[MAXN],s[MAXN][MAXM];
int num[MAXN],t,n,m;
using namespace std;
void pre()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+num[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        w[i]=w[i-1]+sum[i-1]*num[i];
    }
int main()
    {
        while(scanf("%d%d",&n,&m)&&(n||m))
        {
            m++;
            for(int i=1;i<=n;i++)
                scanf("%d",&num[i]);
            memset(f,0x3f,sizeof f);
            pre();
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {for(int j=i;j<=n;j++)
                    s[i][j]=i-1;
            }
            for(int i=1;i<=n;i++)
                s[i][m+1]=i-1;
            for(int i=1;i<=n;i++)
                f[i][i]=0;
            for(int j=1;j<=n;j++)
                f[j][1]=w[j];
            
            for(int i=1;i<=n;i++)
                for(int j=min(m,i);j>=1;j--)
                {
                    for(int k=s[i][j+1];k>=s[i-1][j];k--)
                    {
                        LL temp=f[k][j-1]+w[i]-w[k]-sum[k]*(sum[i]-sum[k]);
                        if(f[i][j]>temp)
                        {f[i][j]=temp;
                            s[i][j]=k;
                        }
                    }
                }
                printf("%I64d
",f[n][m]);
            }
        }