摘抄自维基百科:
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似然函数(Likelihood function、Likelihood)
在数理统计学中,似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数,表示模型参数中的似然性。似然函数在统计推断中有重大作用,如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近,都是指某种事件发生的可能性,但是在统计学中,“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下,预测接下来的观测所得到的结果,而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时,对有关事物的性质的参数进行估计。
在这种意义上,似然函数可以理解为条件概率的逆反。在已知某个参数B时,事件A会发生的概率写作:
利用贝叶斯定理,
因此,我们可以反过来构造表示似然性的方法:已知有事件A发生,运用似然函数,我们估计参数B的可能性。形式上,似然函数也是一种条件概率函数,但我们关注的变量改变了:
注意到这里并不要求似然函数满足归一性:。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有
,都可以有似然函数:
最大似然估计(maximum likelihood estimation ,MLE)
给定一个概率分布,已知其概率密度函数(连续分布)或概率质量函数(离散分布)为
,以及一个分布参数
,我们可以从这个分布中抽出一个具有
个值的采样
但是,我们可能不知道的值,尽管我们知道这些采样数据来自于分布
。那么我们如何才能估计出
呢?一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有
个值的采样
,然后用这些采样数据来估计
.
一旦我们获得,我们就能求得一个关于
的估计。最大似然估计会寻找关于
的最可能的值(即,在所有可能的
取值中,寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化)。这种方法正好同一些其他的估计方法不同,如
的非偏估计,非偏估计未必会输出一个最可能的值,而是会输出一个既不高估也不低估的
值。
要在数学上实现最大似然估计法,我们首先要定义似然函数:
并且在的所有取值上通过令一阶导数等于零,使这个函数取到最大值。这个使可能性最大的
值即称为
的最大似然估计。
注意
- 这里的似然函数是指
不变时,关于
的一个函数。
- 最大似然估计函数不一定是惟一的,甚至不一定存在。
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极大似然估计,通俗理解来说,就是利用已知的样本结果信息,反推最具有可能(最大概率)导致这些样本结果出现的模型参数值!
换句话说,极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法,即:“模型已定,参数未知”。
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另外,可以看这篇文章,有比较详细的例子介绍: