HDU3923-Invoker-polya n次二面体

polya定理。等价类的个数等于∑颜色数^置换的轮换个数

不可翻转的串当中。直接计算∑m^(gcd(n,i)) ，这里gcd(n,i)就是第i个置换的轮换数。

翻转的情况再分n奇偶讨论。

n次二面体都是这个套路。

/*--------------------------------------------------------------------------------------*/

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <ctype.h>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>

//debug function for a N*M array
#define debug_map(N,M,G) printf("
");for(int i=0;i<(N);i++)
{for(int j=0;j<(M);j++){
printf("%d",G[i][j]);}printf("
");}
//debug function for int,float,double,etc.
#define debug_var(X) cout<<#X"="<<X<<endl;
#define LL long long
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL LLINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
/*--------------------------------------------------------------------------------------*/
using namespace std;

int N,M,T;
const LL MOD = 1e9+7;

LL pow_mod(LL x,LL cnt)
{
    LL base = x,res = 1;
    while(cnt)
    {
        if(cnt&1) {res*=base;res%=MOD;}
        base *= base;base %= MOD;
        cnt >>= 1;
    }
    return res%MOD;
}
LL inv(LL x,LL m)
{
    return pow_mod(x,m-2);
}
LL polya(LL n,LL m)
{
    LL res = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        res += pow_mod(m,__gcd((LL)i,n));
        res %= MOD;
    }

    if(n&1) res += n*pow_mod(m,n/2+1);
    else res += (n*pow_mod(m,n/2))%MOD*inv(2,MOD)%MOD + (n*pow_mod(m,n/2+1))%MOD*inv(2,MOD)%MOD ;

    res %= MOD;
    res *= inv(2*n,MOD);

    return res%MOD;
}

int main()
{
    scanf("%d",&T);
    int cas = 0;
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&M,&N);
        printf("Case #%d: %lld
",++cas,polya(N,M));
    }
}