【JZOJ5340】春思【数论，数学】

题目大意：

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/5340
题目图片:
http://wx2.sinaimg.cn/mw690/0060lm7Tly1fwepmh2hffj30jp0cwac2.jpg
http://wx4.sinaimg.cn/mw690/0060lm7Tly1fwepmh2vacj30jq0e8mxt.jpg
求$N^M$的因子和。

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思路：

首先把$N$分解质因数，那么可以得到
$N=d[1]^{k[1]} imes d[2]^{k[2]} imes ... imes d[sum]^{k[sum]}$
然后可以得到
$N^M=d[1]^{k[1] imes M} imes d[2]^{k[2] imes M} imes ... imes d[sum]^{k[sum] imes M}$
之后就打表（别怪我蒟蒻太菜）

$N$ $M$	1	2	3	4	5
2	3	7	15	31	63
3	4	13	40	121	364
4	7	31	127	511	2047
5	6	31	156	781	3906
6	12	91	600	3751	22932

可以发现，对于$N$是质数，有$ans(N,M)=N^m+N^{m-1}+N^{m-2}+...+N^1+1$
对于$N$是合数，有$ans(N,M)=ans(d[x],k[x] imes M) imes ans(d[y],k[y] imes M)...$
然后加上一个逆元即可。

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代码:

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define N 500
#define MOD 9901
#define ll long long
using namespace std;

int sum;
ll n,m,d[N],k[N];

ll ksm(ll x,ll y)
{
	ll ans=1;
	x%=MOD;
	while (y)
	{
		if (y&1) ans=(ans*x)%MOD;
		y>>=1;
		x=(x*x)%MOD;
	}
	return ans;
}

ll S(ll x,ll y)
{
	ll ans=1;
	if (!((x-1)%MOD))
	  return y+1;
	ll inx=ksm(x-1,MOD-2);
	ll k=(ksm(x,y+1)+MOD-1)%MOD;
	ans=k*inx%MOD;
	return ans;
}

int main()
{
	cin>>n>>m;
	for (ll i=2;i*i<=n;i++)  //分解质因数
	 while (!(n%i))
	 {
	 	if (d[sum]!=i) d[++sum]=i;
	 	k[sum]++;
	 	n/=i;
	 }
	if (n>1)
	{
		d[++sum]=n;
		k[sum]++;
	}
	ll ans=1;
	for (int i=1;i<=sum;i++)
	 ans=ans*S(d[i],k[i]*m)%MOD;
	cout<<ans%MOD<<"
";
	return 0;
}