【洛谷P4281】紧急集合 / 聚会【LCA】

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4281#sub
给出一棵树，每次给出三个点$x,y,z$，求哪一个点与这三个点的距离之和最近。

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思路：

首先，很明显的一件事情是：给出一棵树上的三个点，这三个点中总有两个的$LCA$是一样的。

证明：
假设我们能找到一个点，这个点的左子树中有2个标记点，右子树中有1个标记点（或者左子树1个，右子树2个），那么很明显左子树中的两个点分别与右子树的点取$LCA$的结果是一样的，都是选择的点。
那么如果我们找不到这样的点，那么就只有这三个点在一条链上可能。
那么如果这三个点在一条链上，那么很明显在下面的两个点与在上面的点取$LCA$的结果是一样的。都是上面那个点。
证毕。

好吧这个证明并不严谨，但是再仔细想一想就会发现是对的。
所以，答案很明显就出来了。三个$LCA$中不同的那个就是最佳位置。

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代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 500100
#define LG 20
using namespace std;

int n,m,tot,head[N],f[N][LG+1],dep[N],l1,l2,l3;

struct edge
{
	int next,to;
}e[N*2];

int in;
char ch;

int read()  //快读，不加好像会T
{
    in=0;
    while((ch=getchar())<=47||ch>=58);in=(in<<3)+(in<<1)+ch-48;
    while((ch=getchar())>=48&&ch<=57) in=(in<<3)+(in<<1)+ch-48;
    return in;
}


void add(int from,int to)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
}

void dfs(int x,int fa)
{
	dep[x]=dep[fa]+1;
	for (int i=1;i<=LG;i++)
	 f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	 if (e[i].to!=fa)
	 {
	 	f[e[i].to][0]=x;
	 	dfs(e[i].to,x);
	 }
}

int lca(int x,int y)
{
	if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
	for (int i=LG;i>=0;i--)
	 if (dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];
	if (x==y) return x;
	for (int i=LG;i>=0;i--)
	 if (f[x][i]!=f[y][i])
	 {
	 	x=f[x][i];
	 	y=f[y][i];
	 }
	return f[x][0];
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	n=read();
	m=read();
	int x,y,z;
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		x=read();
		y=read();
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	dep[0]=-1;
	dfs(1,0);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		x=read();
		y=read();
		z=read();
		l1=lca(x,y);
		l2=lca(y,z);
		l3=lca(x,z);  //求出组合的LCA
		if (l1==l2) 
		 printf("%d %d\n",l3,dep[x]+dep[y]-dep[l3]*2+dep[z]+dep[l3]-dep[l1]*2);
		else if (l2==l3)
		 printf("%d %d\n",l1,dep[y]+dep[z]-dep[l1]*2+dep[x]+dep[l1]-dep[l2]*2);
		else if (l1==l3)
		 printf("%d %d\n",l2,dep[x]+dep[z]-dep[l2]*2+dep[y]+dep[l2]-dep[l3]*2);
	}
	return 0;
}