【SP1716 GSS3】Can you answer these queries III【线段树】

题目大意：

$n$个数，$q$次操作

• $0\ x\ y$把$a[x]$修改为$y$
• $1\ l\ r$询问区间$[l, r]$的最大子段和

---

思路：

操作0很明显是可以用线段树维护的。但是问题是操作而应该如何进行操作1。
原来的$tree$只包含两个元素$l,r$，现在在里面再加入四个元素。

• $tree[x].sum$，表示区间$x$的每个点的权值之和
• $tree[x].max$，表示区间$x$的最大子段和
• $tree[x].lmax$，表示区间$x$的含点$tree[x].l$的最大子段和
• $tree[x].rmax$，表示区间$x$的含点$tree[x].r$的最大子段和

那么很明显，$tree[x].sum$其实就是左右儿子的$sum$之和。那么就有
$tree[x].sum=tree[x\times 2].sum+tree[x\times 2+1].sum$
然后$tree[x].lmax$必须含有$tree[x].l$，那么它就有以下几种可能：

1. 完全位于它的左儿子中
2. 占据了全部的左儿子，并且有一部分在右儿子中，而且这部分必须在右儿子的最左边

情况一中的$tree[x].lmax$是$tree[x\times 2].lmax$，而情况二中的$tree[x].lmax$是$tree[x\times 2].sum+tree[x\times 2+1].lmax$（右儿子的全部和左儿子的一部分）
所以就得到了：
$tree[x].lmax=max(tree[x\times 2].lmax,tree[x\times 2].sum+tree[x\times 2+1].lmax)$
那么同理可得：
$tree[x].rmax=max(tree[x\times 2+1].rmax,tree[x\times 2+1].sum+tree[x\times 2].rmax)$

那么只要求出$tree[x].sum$就可以了。很容易发现，$tree[x].sum$只有三种可能：

1. 完全是右儿子的最大子段和
2. 完全是左儿子的最大子段和
3. 既有一部分在左儿子中，又有一部分在右儿子中

所以就有：
$tree[x].max=max(tree[x\times2].max,tree[x\times2+1].max,tree[x\times2].rmax+tree[x\times2+1].lmax)$

那么我们也就维护好了最大子段和，再在每次更改中再重新更改就可以了，时间复杂度还是$O(nlogn)$

---

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 500010
using namespace std;

int a[N];
int n,m,w,x,y,z;

struct node  //线段树
{
	int l,r,sum,max,lmax,rmax;
}tree[N*4];

int maxx(int x,int y,int z)
{
	return max(x,max(y,z));
}

void make(int x)  //建树
{
	if (tree[x].l==tree[x].r)   //叶子节点
	{
		tree[x].sum=a[tree[x].l];
		tree[x].lmax=a[tree[x].l];
		tree[x].rmax=a[tree[x].l];
		tree[x].max=a[tree[x].l];  //只有一个可能，它本身
		return;
	}
	int mid=(tree[x].l+tree[x].r)/2;
	tree[x*2].l=tree[x].l;
	tree[x*2].r=mid;
	tree[x*2+1].l=mid+1;
	tree[x*2+1].r=tree[x].r;  //左右儿子的边界
	make(x*2);
	make(x*2+1);
	tree[x].sum=tree[x*2].sum+tree[x*2+1].sum;
	tree[x].lmax=max(tree[x*2].lmax,tree[x*2].sum+tree[x*2+1].lmax);
	tree[x].rmax=max(tree[x*2+1].rmax,tree[x*2+1].sum+tree[x*2].rmax);
	tree[x].max=maxx(tree[x*2].max,tree[x*2+1].max,tree[x*2].rmax+tree[x*2+1].lmax);  //求出每个点的所有值
}  

node find(int x,int l,int r)  //查找
{  
	if (tree[x].l==l&&tree[x].r==r) return tree[x];  //找到
	if (tree[x].l==tree[x].r) return (node){0,0,0,0,0,0};  //不成立
	int mid=(tree[x].l+tree[x].r)/2;
	if (r<=mid) return (node)find(x*2,l,r);
	if (l>mid) return (node)find(x*2+1,l,r); 
	node a=find(x*2,l,mid),b=find(x*2+1,mid+1,r),c;
	c.sum=a.sum+b.sum;
	c.lmax=max(a.lmax,a.sum+b.lmax);
	c.rmax=max(b.rmax,b.sum+a.rmax);
	c.max=maxx(a.max,b.max,a.rmax+b.lmax);  //求答案
	return c;
}

void add(int x,int y,int k)  //修改
{
	if (tree[x].l==y&&tree[x].r==y)  //找到
	{
		tree[x].sum=k;
		tree[x].lmax=k;
		tree[x].rmax=k;
		tree[x].max=k;  //重新更新
		return;
	}
	if (tree[x].l==tree[x].r) return;
	int mid=(tree[x].l+tree[x].r)/2;
	if (y<=mid)
	{
		add(x*2,y,k);
		tree[x].sum=tree[x*2].sum+tree[x*2+1].sum;
		tree[x].lmax=max(tree[x*2].lmax,tree[x*2].sum+tree[x*2+1].lmax);
		tree[x].rmax=max(tree[x*2+1].rmax,tree[x*2+1].sum+tree[x*2].rmax);
		tree[x].max=maxx(tree[x*2].max,tree[x*2+1].max,tree[x*2].rmax+tree[x*2+1].lmax);  //重新更新
	}
	else
	{
		add(x*2+1,y,k);
		tree[x].sum=tree[x*2].sum+tree[x*2+1].sum;
		tree[x].lmax=max(tree[x*2].lmax,tree[x*2].sum+tree[x*2+1].lmax);
		tree[x].rmax=max(tree[x*2+1].rmax,tree[x*2+1].sum+tree[x*2].rmax);
		tree[x].max=maxx(tree[x*2].max,tree[x*2+1].max,tree[x*2].rmax+tree[x*2+1].lmax);  //重新更新
	}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	 scanf("%d",&a[i]);
	tree[1].l=1;
	tree[1].r=n;
	make(1);	
	scanf("%d",&m);
	while (m--)
	{
		scanf("%d%d%d",&z,&x,&y);
		if (z)
		{
			if (x>y) swap(x,y);
			find(1,x,y);			
			printf("%d\n",find(1,x,y).max);
		}
		else
		{
			add(1,x,y);
		}
	}
	return 0;
}