倒霉的小C【数论】

题目大意：

求∑ni=1gcd(i,n)$\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)$

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思路：

题目描述绝对没有你想象的那么简单。

Input$Input$

4

Output$Output$

9

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50分做法：直接求上式，时间复杂度O(nlogn)$O(nlogn)$
100分做法：
随便取一个数，找一下规律。

• 12

分解后为

• 1 2 3 4 1 6 1 4 3 2 1 12

再统计一下每个数字的个数。

• 1：4
• 2：2
• 3：2
• 4：2
• 6：1
• 12：1

不难发现，数字i$i$出现的次数就是φni$\phi \frac{n}{i}$。
那么就枚举n$n$的约数，求出φi$\phi i$和φni$\phi \frac{n}{i}$，计算答案即可。
时间复杂度：约O(n−−√)$O(\sqrt{n})$

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代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define fre(x) freopen(#x".in","r",stdin),freopen(#x".out","w",stdout);
using namespace std;

long long ans,sum,n,a;

long long phi(long long x)  //求phi[i]
{
    ans=x;
    for (long long i=2;i*i<=x;i++)
     if (!(x%i))
     {
        ans=ans/i*(i-1);
        while (!(x%i)) x/=i;
     }
    if (x>1) ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}

int main()
{
    fre(beats);
    scanf("%lld",&n);
    for (long long i=1;i*i<=n;i++)  //枚举约数
     if (!(n%i)) 
     {
        sum+=i*phi(n/i);
        if (i*i!=n) sum+=(n/i)*phi(i);  //不是完全平方数
     }
     printf("%lld\n",sum+1);
     return 0;
}