数字对【数论】

题目大意：
对于一个数字对(a,b)$(a,b)$，可以将其变为新数字对(a+b,b)$(a+b,b)$或(a,a+b)$(a,a+b)$。
给定一正整数n，问最少需要多少次操作可将数字对(1,1)$(1,1)$变为一个数字对，且该数字对有一个为n。

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思路：
真的不会做啊。。。
考试时想了bfs$bfs$，dfs$dfs$，DP$DP$，但是都至少是O(n2)$O(n^2)$的算法，对于n≤106$n\le {10}^6$根本吃不消。
最后还是打了一个DP$DP$灰溜溜的交上去，30分。

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正解：数论，GCD$GCD$

有谁看得出这是GCD$GCD$的题目？？？
对于给定的n$n$，我们可以枚举所有的i$i$，模拟还原（n,i）$（n,i）$，最终步数最少的就是最终解。
这道题可以类比求gcd$gcd$的辗转相除法。
若 a>b$a>b$，则gcd（a,b）=gcd(amodb,b)$gcd（a,b）=gcd(amodb,b)$
若 a≤b$a\le b$，则gcd（a,b）=(a,bmoda)$gcd（a,b）=(a,bmoda)$
当达到一定次数时，b=1$b=1$，那么这就是一个合法的解。如果b=0$b=0$时，b$b$没有等于过1$1$，那么这个解就不合法。

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代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

int n,ans;

int gcd(int a,int b)  //辗转相除法
{
    if (!b) return 99999999;  //b到达0且没有等于过1，无解
    if (b==1) return a-1;  //b=1，有借
    return gcd(b,a%b)+a/b; 
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    ans=99999999;
    for (int i=1;i<=(n+1)/2+1;i++)  //简单精简。
     ans=min(ans,gcd(n,i));
    return printf("%d\n",ans)&0;
}