题目描述
一天小甲苯得到了一条神的指示，他要把神的指示写下来，但是又不能泄露天机，所以他要用一种方法把神的指示记下来。
神的指示是一个字符串，记为字符串 (s_1)，(s_1) 仅包含小写字母 ( exttt{a-z})。
现在小甲苯想要写下神的指示，记为字符串 (s_2)，(s_2) 仅包含小写字母 ( exttt{a-z})，要求 (s_1) 中的相邻的两个字母不能在 (s_2) 中相邻地出现。
现在给定 (s_2) 的长度，小甲苯想知道他有多少种方法可以将神的指示写下来。
输出种类数对 (10^9 + 7) 取模的结果。
输入格式
文件的第一行只有一个正整数 (n)，代表字符串 (s_2) 的长度，(n le 10^{15})。
第二行是一个字符串，代表字符串 (s_1)。(s_1) 的长度不超过 (100000)。
输出格式
输出一个整数，表示小甲苯可以写出的字符串的总数。
结果对 (10^9 + 7) 取模。
样例
样例输入
2
ab
样例输出
675
数据范围与提示
对于 (30\%) 的数据，(n ≤ 100000)；
对于 (100\%) 的数据，(n ≤ 10^{15})。
题解
我的做法其实应该和网上的题解差不多。不过理解起来可能需要比较感性一点？
因为考虑的只有相邻两个字符，不难得知，可以把所有关系写成一个(26 imes 26)的矩阵。
先思考一下正常怎么求解：(f[i][j]=sum f[i-1][k]*a[k][j]) （(i)位第几位数字，(j)为当前放的字母，(k)为上一位放的字母）
那么我们把(f[i])视为一个(1 imes n)的矩阵，实际上这就是一个矩阵乘法的过程。
利用矩阵快速幂求解即可。
但是我构造的初始的矩阵有点不同：初始矩阵为一个全(1)的矩阵，最后统计答案时答案为(sum f[i][i])
怎么理解呢？实际上就是第一位怎么放都行，然后矩阵乘法得到的矩阵中的(c[i][j])，实际上就是第一个矩阵的第(i)行与第二个矩阵的第(j)列的答案。所以最终的(f[i][i])即为第一位填(i)可以得到的方案数。
那么为什么要这么构造就不难理解了。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N = 100010;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll n;
char s[N];
struct mat {
ll m[26][26];
};
mat operator * (mat a, mat b) {
mat c;
memset(c.m, 0, sizeof(c.m));
for(int i = 0; i < 26; ++i) {
for(int j = 0; j < 26; ++j) {
for(int k = 0; k < 26; ++k) {
c.m[i][j] = (c.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j] % mod) % mod;
}
}
}
return c;
}
mat base, ans, now;
int idx(char c) {return c - 'a';}
void print(mat a) {
for(int i = 0; i < 26; ++i) {
for(int j = 0; j < 26; ++j) printf("%d ", a.m[i][j]);
puts("");
}
}
int main() {
scanf("%lld%s", &n, s + 1);
for(int i = 0; i < 26; ++i) for(int j = 0; j < 26; ++j) base.m[i][j] = 1;
int len = strlen(s + 1);
for(int i = 1; i < len; ++i) {
base.m[idx(s[i])][idx(s[i + 1])] = 0;
}
memset(ans.m, 0, sizeof(ans.m));
memset(now.m, 0, sizeof(now.m));
for(int i = 0; i < 26; ++i) ans.m[i][i] = 1;
--n;
while(n) {
if(n & 1) ans = ans * base;
base = base * base; n >>= 1;
}
for(int i = 0; i < 26; ++i) for(int j = 0; j < 26; ++j) now.m[i][j] = 1;
now = now * ans;
ll sum = 0;
for(int i = 0; i < 26; ++i) sum = (sum + now.m[i][i]) % mod;
printf("%lld
", sum);
}