序言
第二周的模拟卷压轴选做！话说上周的 post 文本量达到了 31K 哎，好像我之前最长的一篇 Blog post 也只有 25K 多（（（
感觉做了一周的卷子之后能力有所恢复，但是囿于颓废和 [数据删除] 依然无法高效率的逼近高考水平，所以要继续加油！
2021/09/06: 重庆八中 2021-2022 学年度高三（上）入学摸底测试
圆锥曲线
(T_{21}.) 已知椭圆 (C: frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)) 的离心率为 (frac {sqrt 3}{2})，长轴端点和短轴端点的距离为 (sqrt 5).
((1).) 求椭圆 (C) 的方程.
((2).) 若 (P) 为椭圆 (C) 上异于 (C) 端点的任意一点，过点 (Q(0, -2)) 且平行于 (OP) 的直线 (l) 与椭圆 (C) 相交于 (A,B) 两点，是否存在实数 (lambda)，使得 (overrightarrow{QA}cdotoverrightarrow{QB} = lambda overrightarrow{OP}^2) 成立？若存在，求出 (lambda) 的值，若不存在，请说明理由.
有没有神仙知道命题背景啊 qaq，如果有的话请务必评论区教教我，（不过这和我不对称结构韦达定理爆算得到答案有啥关系呢
((1).) 由题意知 (frac ca = frac{sqrt 3}{2}, a^2+b^2 = 5)，又因为 (a^2 = b^2+c^2)，所以 (a = 2, b = 1)，那么 (C: frac{x^2}{4}+y^2=1).
((2).) 设 (OP: y = kx)，因为 (OP parallel AB)，所以设 (AB: y = kx-2, A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)).
联立 (OP) 与椭圆 (C) 的方程可得，((1+4k^2)x^2-4=0, Delta = 64k^2+16>0)，所以 (x_P^2 = frac{4}{1+4k^2})，所以 (overrightarrow{OP}^2 = |OP|^2 = (1+k^2)x_P^2 = frac{4(1+k^2)}{1+4k^2})
联立 (AB) 与椭圆 (C) 的方程可得 ((1+4k^2)-16kx+12=0, Delta = 64k^2-48>0 Rightarrow -frac{sqrt 3}{2} < k < frac{sqrt 3}{2}).
那么 (x_1+x_2 = frac{16k}{1+4k^2}, x_1x_2 = frac{12}{1+4k^2})，那么 (overrightarrow{QA} cdot overrightarrow{QB} = x_1x_2 + y_1y_2 = (1+k^2)x_1x_2 = frac{12(1+k^2)}{1+4k^2})
所以 (lambda = frac{overrightarrow{QA} cdot overrightarrow{QB}}{overrightarrow{OP}^2} = 3)，所以存在 (lambda = 3) 满足题目条件.
函数导数
(T_{8}.) 设实数 (lambda > 0)，若对于任意的 (x in (1, +infty))，不等式 (e^{3lambda x} - frac{ln x}{3lambda} geq 0) 恒成立，则实数 (lambda) 的取值范围是 (underline{quadquadquad}).
简单同构，感觉大家看到这两个 (3lambda) 就能想到。不过这只是个开始，这套题可以看成函数导数大训练，每个部分的压轴都是……
(e^{3lambda x} - frac{ln x}{3lambda} geq 0 Leftrightarrow e^{3lambda x} geq frac{ln x}{3lambda} Leftrightarrow 3lambda x e^{3lambda x} geq xln x)，令 (f(x) = xe^x)，则原式等价于 (f(3lambda x) geq f(ln x)).
易知 (f(x)) 在 ((1, +infty)) 上单调递增，所以原命题恒成立等价于 (3lambda x geq ln x Leftrightarrow 3lambda x - ln xgeq 0) 恒成立.
构造函数 (g(x) = 3lambda x - ln x)，则 (g'(x) = 3lambda - frac 1x)，所以当 (x = frac{1}{3lambda}) 时，(g'(x) = 0)，(g(x)) 取得极值.
当 (x in left(0, frac{1}{3lambda} ight)) 时，(g'(x) < 0)，(g(x)) 单调递减，当 (x in left( frac{1}{3lambda}, +infty ight)) 时，(g'(x)>0)，(g(x)) 单调递增.
所以当 (frac{1}{3lambda} leq 1) 时，要满足题目条件，则 (f(1) geq 0 Rightarrow lambda geq frac 13).
当 (frac{1}{3lambda} > 1) 时，要满足题目条件，则 (fleft( frac{1}{3lambda} ight) geq 0 Rightarrow lambda in left[ frac{1}{3e}, frac 13 ight))，综上对两种情况所得答案取并集可得，(lambda geq frac{1}{3e}).
(T_{16}) 已知函数 (f(x) = frac{e^x}{x}+2k(ln x-x))，若函数 (f(x)) 有唯一极值点，则实数 (k) 的取值范围为 (underline{quadquadquad}).
挺常规的吧，感觉放在填空压轴有丶简单了，不过考虑到该校可能上学期刚刚学完导数也许还是个不错的练手题（？
由题意知，(f'(x) = frac{e^x(x-1)}{x^2} + 2kleft( frac 1x-1 ight) = frac{(x-1)(e^x-2kx)}{x^2}).
因为 (f(x)) 只有一个极值点，所以 (e^x-2kx) 必须在 ((0, +infty)) 上恒非负，构造函数 (g(x) = e^x - 2kx)，则 (g'(x) = e^x - 2k).
当 (-2k > 0)，即 (k < 0) 时，(g'(x)) 在 ((0, +infty)) 上恒正，(g(x)) 单调递增，所以 (g(x) > g(0) = 0)，满足题目要求.
当 (k > 0) 时，令 (g'(x) = 0 Rightarrow x = ln 2k)，所以当 (x in (0, ln 2k)) 时 (g'(x) < 0)，(g(x)) 单调递减，当 (x in (ln 2k, +infty)) 时 (g'(x) > 0)，(g(x)) 单调递增.
所以 (g(x) geq g(ln 2k) = 2k - 2k ln 2k = 2k(1 - ln 2k))，令 (g(ln 2k) geq 0)，解得 (0 < k leq frac e2)，综上对两种情况所的答案取并集得 (k leq frac e2).
(T_{22}.) 已知函数 (f(x) = x^2 - 2ax + 2ln x(a > 0)).
((1).) 讨论函数 (f(x)) 的单调性.
((2).) 设 (g(x) = ln x - bx - cx^2)，若函数 (f(x)) 的两个极值点 (x_1,x_2;(x_1 < x_2)) 恰为函数 (g(x)) 的两个零点，且 (y = (x_1-x_2)g'left( frac{x_1+x_2}{2}
ight)) 的取值范围是 ([ln 3-1, +infty))，试求 (a) 的取值范围.
第一问这个极值点就离谱，不过还好最后只用韦达定理就行了！第一遍做题的时候为了用韦达定理把零点得到的两个式子相加，结果死活都消不去另一个参 TAT
((1).) 由题意知 (f'(x) = 2x-2a+frac 2x = 2 frac{x^2-ax+1}{x})，令 (f'(x) = 0) 即二次方程 (x^2-ax+1 = 0, Delta = a^2-4).
当 (Delta leq 0)，即 (0 < a leq 2) 时，二次方程 (x^2-ax+1=0) 恒非负，(f'(x)) 恒非负，所以 (f(x)) 在 ((0, +infty)) 上单调递增.
当 (Delta > 0)，即 (a > 2) 时，(f'(x)) 存在两个正根 (frac 12(a pm sqrt{a^2-4})).
所以当 (x in left(0, frac{a-sqrt{a^2-4}}{2} ight) cup left(frac{a+sqrt{a^2-4}}{2}, +infty ight)) 时，(f'(x)>0)，(f(x)) 单调递增，当 (x in left(frac{a-sqrt{a^2-4}}{2}, frac{a+sqrt{a^2-4}}{2} ight)) 时，(f'(x)<0)，(f(x)) 单调递减.
((2).) 由题意知，(x_1,x_2) 是二次方程 (x^2-ax+1=0) 的两个根，(x_1+x_2 = a, x_1x_2 = 1)，且此时 (a>2).
那么 (g(x_1) = g(x_2) = 0)，等价于: (egin{cases} ln x_1 = bx_1 + cx_1^2 \ ln x_2 = bx_2 + cx_2end{cases})，两式相减可得 (ln frac{x_1}{x_2} = b(x_1-x_2)+c(x_1^2-x_2^2)).
又因为 (g'(x) = frac 1x-b-cx)，所以 (y = (x_1-x_2)g'left( frac{x_1+x_2}{2} ight) = frac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2} - b(x_1-x_2) - frac c2(x_1^2-x_2^2) = frac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2} - ln frac{x_1}{x_2}).
令 (t = frac{x_1}{x_2}, 0 < t < 1)，所以 (y = frac{2(t-1)}{t+1} - ln t)，所以 (y' = -frac{(t-1)^2}{t(t+1)^2} < 0)，所以 (y) 在 ((0,1)) 上单调递建.
又因为 (y in [ln 3 - 1, +infty))，所以 (t in (0, frac 13])，所以 (a^2 = (x_1+x_2)^2 = frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2} = frac{x_1}{x_2} + frac{x_2}{x_1}+2 = t+frac 1t+2)，所以 (a) 的取值范围为 (a geq frac 43 sqrt 3).
2021/09/07: Z20 联盟 2022 届高三第一次联考
数列 & 圆锥曲线
(T_9.) 已知点 (A(x_0, y_0)) 在曲线 (C: x = bsqrt{1 - frac{y^2}{a^2}} (a>b>0)) 上，设 (B(0, -sqrt{a^2-b^2}))，则 (|AB|+x_0) 的最大值为 (underline{quadquadquad}).
水球卷 IV 的原题......，不知道出题人咋想的，原题问和 (a,b) 的关系，实际上难点就在于迷惑人以为非要把 (|AB|+x_0) 写出来，其实就是一初中几何.
画出图像可以发现曲线 (C) 为焦点在 (y) 轴上的椭圆的 (x>0) 部分，(B) 点为椭圆的下焦点，设上焦点为 (C)，连接 (AC)，则 (|AB|+x_0 = |AB|+|AC|+x_0-|AC|).
过 (A) 向 (x) 轴做垂线，垂足为 (D)，那么 (x_0 = |AD|)，所以 (|AB|+x_0 = |AB|+|AC|+|AD|-|AC|=2a+|AD|-|AC|)，发现在 ({ m Rt} riangle ADC) 中，(|AD| < |AC|).
所以 (|AB|+x_0 leq 2a)，等号取到当且仅当 (D) 与 (C) 重合.
(T_{10}.) 已知数列 ({ a_n}) 满足 (a_1 = frac 13, a_{n+1} = a_n + frac{a_n^2}{n^2} (n in {mathbb N^*}))，试证明对于 (n geq 4)，有 (frac{n}{2n+1} < a_n < 1).
是我彩笔了，这个破题真的是破吐了，本来以为是啥构造裂项形式加强不等式之后构造函数，结果给我整一个 (a_4 > frac 12)……
由题意知，(a_{n+1} - a_{n} = frac{a_n^2}{n^2} > 0)，所以 ({ a_n}) 是一严格单调递增数列.
先证左边，易得 (frac{n}{2n+1} = frac 12 - frac {1}{2(2n+1)} < frac 12)，又 (a_3 = frac{40}{81}, a_4 =frac{30760}{59049} > frac 12)，且 ({ a_n}) 单调递增，所以命题得证.
接下来是常见技巧: (a_{n+1} = a_n + frac{a_n^2}{n^2} < a_n + frac{a_na_{n+1}}{n^2})，不等号两边同时除掉 (a_na_{n+1}) 再移个项，得到 (frac {1}{a_n} - frac{1}{a_{n+1}} < frac{1}{n^2})，把这一组式子从 (1) 写到 (n) 累加得到
又因为 (a_1 = frac 13)，那么 (frac {1}{a_n} > frac {1}{a_1} - 2 = 1)，所以 (a_n < 1)，原不等式右边得证，总体来讲我觉得待证不等式宽的离谱，强行给咱凑一个 (frac 13) 呐.
(T_{16}.) 已知点 (P) 在椭圆 (C:frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} (a>b>0)) 上，左顶点为 (A)，点 (F_1, F_2) 分别为椭圆的左右焦点，(left| overrightarrow{PF_1} + overrightarrow {PF_2} ight|) 的最大值和最小值分别为 (4, 2sqrt 3)，直线 (l) 过点 (F_2) 且与 (AP) 平行，过 (A,P) 两点分别向 (l) 做垂线，垂足为 (D,E)，当矩形 (APDE) 的面积为 (3sqrt 3) 时，直线 (AP) 的斜率为 (underline{quadquadquad}).
感觉是个二合一，sub 1 是经典老番不用多说，sub 2 其实拿大题的方法来做就成，算着算着会发现计算量小不少.
由题意知，当 (P) 与椭圆长轴端点重合时，(left| overrightarrow{PF_1} + overrightarrow {PF_2} ight|) 最大，当 (P) 与椭圆短轴端点重合时，(left| overrightarrow{PF_1} + overrightarrow {PF_2} ight|) 最小.
所以 (2a = 4, 2c = a = 2 Rightarrow a = 2, b = sqrt 3, c = 1)，所以 (C: frac{x^2}{4}+frac{y^2}{3}=1, A(-2,0), F_2(1,0)).
设直线 (AP: x = ty-2)，所以直线 (l: x = ty+1)，所以 (d_{A o l} = d_{AP ;{ m with} ;l} = frac{|2-1|}{sqrt{1+t^2}}).
联立直线 (AP) 和 (C) 的方程，得到 ((t^2+4)y-4ty=0, Delta = 12t^2-16 > 0 Rightarrow t^2 > frac 43)，韦达定理得到 (y_1+y_2 = frac{4t}{t^2+4}).
因为 (y_A = 0)，所以 (y_P = y_1+y_2 = frac{4t}{t^2+4})，所以 (|AP| = sqrt{1+t^2}|y_A-y_P| = sqrt{1+t^2}left| frac{4t}{t^2+4} ight|).
所以 (S_{APDE} = |AP|cdot d_{A o l} = left| frac{4t}{t^2+4} ight| = 3sqrt 3)，解得 (t = pm frac 23 sqrt 3)，所以 (k_{AP} = pm frac{sqrt 3}{2}).
(T_{21}.) 已知点 (F) 为抛物线 (C: y^2=4x) 的焦点，点 (A(x_0, y_0) \, (y_0 > 0)) 在抛物线上，弦 (OA) 的中点为 (M)，以 (M) 为端点的射线 (MF) 与抛物线交于点 (B).
((1).) 若 (F) 恰好为 ( riangle AOB) 的重心，求 (y_0).
((2).) 若 (y_0 in [1,2])，求 (frac{S_{ riangle AOB}}{S_{ riangle MOF}}) 的取值范围.
水神说 Z20 的老毛病就是前面选填太难，后面压轴压不住，其实我还有点同感（？