uva10891 Game of Sum(博弈+区间dp+优化)

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题意：两个人做游戏，共有n个数，每个人可以任选一端取任意多连续的数，问两个人都想拿最多的情况下，先手最多比后手多拿多少分数。

思路：这题一开始想到的是用dp[i][j]表示区间[i,j]内先手最多比后手多拿多少分数，那么状态转移方程为dp[i][j]=max(sum[j]-sum[i-1],dp[i][j],sum[k]-sum[i-1]-dp[k+1][j],sum[j]-sum[k-1]-dp[i][k-1]),时间复杂度为O(n^3).看白书里的方法，发现有时间复杂度为O(n^2)的算法，即用dp[i][j]表示区间[i,j]内先手最多能拿多少分数，那么状态转移方程就是dp[i][j]=min(sum[i]-sum[j-1],sum[i,j]-min(dp[i+1][j],dp[i+2][j]...dp[j][j],dp[i,i],dp[i,i+1]...dp[i,j-1]  )),我们发现dp[i+1][j]...dp[j][j],以及dp[i][i+1],...dp[i,j-1]可以递推出来，所以我们可以记录s1[i][j]=min{dp[i][j],dp[i+1][j],...dp[j][j] },s2[i][j]=min{dp[i,i],dp[i,i+1],dp[i,i+1],...dp[i,j-1] },这样就可以在O(1)的时间内递推出来了。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<bitset>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ldb;
#define inf 99999999
#define pi acos(-1.0)
#define maxn 106
int dp[maxn][maxn],a[maxn],sum[maxn],s1[maxn][maxn],s2[maxn][maxn];


int main()
{
    int n,m,i,j,len,k;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF && n!=0)
    {
        sum[0]=0;
        for(i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];

        }
        for(i=1;i<=n;i++){
            dp[i][i]=a[i];
            s1[i][i]=a[i];
            s2[i][i]=a[i];
        }
        for(len=2;len<=n;len++){
            for(i=1;i+len-1<=n;i++){
                j=i+len-1;
                dp[i][j]=sum[j]-sum[i-1];

                dp[i][j]=max(dp[i][j],sum[j]-sum[i-1]-s1[i+1][j]  );
                dp[i][j]=max(dp[i][j],sum[j]-sum[i-1]-s2[i][j-1]  );

                s1[i][j]=min(s1[i+1][j],dp[i][j]);
                s2[i][j]=min(s2[i][j-1],dp[i][j]);

            }
        }
        printf("%d
",2*dp[1][n]-sum[n]);
    }
    return 0;
}