HDU4370：0 or 1（最短路）

0 or 1

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4370

Description:

Given a n*n matrix C_ij (1<=i,j<=n),We want to find a n*n matrix X_ij (1<=i,j<=n),which is 0 or 1.

Besides,X_ij meets the following conditions:

1.X₁₂+X₁₃+...X_1n=1
2.X_1n+X_2n+...X_n-1n=1
3.for each i (1<i<n), satisfies ∑X_ki (1<=k<=n)=∑X_ij (1<=j<=n).

For example, if n=4,we can get the following equality:

X₁₂+X₁₃+X₁₄=1
X₁₄+X₂₄+X₃₄=1
X₁₂+X₂₂+X₃₂+X₄₂=X₂₁+X₂₂+X₂₃+X₂₄
X₁₃+X₂₃+X₃₃+X₄₃=X₃₁+X₃₂+X₃₃+X₃₄

Now ,we want to know the minimum of ∑C_ij*X_ij(1<=i,j<=n) you can get.

Input:

The input consists of multiple test cases (less than 35 case).
For each test case ,the first line contains one integer n (1<n<=300).
The next n lines, for each lines, each of which contains n integers, illustrating the matrix C, The j-th integer on i-th line is C_ij(0<=C_ij<=100000).

Output:

For each case, output the minimum of ∑C_ij*X_ij you can get.

Sample Input:

4 1 2 4 10 2 0 1 1 2 2 0 5 6 3 1 2

Sample Output:

3

Hint:

For sample, X₁₂=X₂₄=1,all other X_ij is 0.

题意：

给出一个s矩阵，每个位置都有对应的权值，然后要求你构造一个X矩阵，满足一下条件：

1.X12+X13+...+X1n = 1;

2.X1n+X2n+...+Xn-1n = 1;

3.当1<i<n时，∑X_ki (1<=k<=n)=∑X_ij (1<=j<=n)。

问在满足以上条件的情况下，∑C_ij*X_ij(1<=i,j<=n)的最小值为多少？

题解：

orz神题...十分巧妙。

主要的思路就是将我们构造的X矩阵当作邻接矩阵就行了，对应位置为1则代表对应的行和列之间有连一条边。

那么根据条件我们知道：1号点只有一个出度，n号点只有一个入度，且2~n-1号点入度出度相等。

想到这里了之后，还要想两种情况：第1种是从1号点出发直接到n号点，中间每个点的出入度相等；第2种是从1号点出发然后形成一个环最后回到1号点，对于n号点也同理。

对于第一种情况很好求解，直接跑次spfa就行了，注意下对应边的权值，就为S数组里面的权值。

对于第二种情况，从1和n出发跑两次spfa，然后在spfa里面加个判断就ok了。

两种的spfa可以合并一下，本题就解完了~

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 305;
int n,tot,mn;;
int vis[N],head[N],c[N][N],d[N];
struct Edge{
    int v,w,next;
}e[N*N<<1];
void adde(int u,int v,int w){
    e[tot].v=v;e[tot].w=w;e[tot].next=head[u];head[u]=tot++;
}
void spfa(int s){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int> q;q.push(s);vis[s]=1;
    memset(d,INF,sizeof(d));d[s]=0;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();vis[u]=0;
        for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].next){
            int v=e[i].v;
            if(d[v]>d[u]+e[i].w){
                d[v]=d[u]+e[i].w;
                if(!vis[v]){
                    vis[v]=1;
                    q.push(v);
                }
            }
            if(v==s){
                mn=min(mn,d[u]+e[i].w);
            }
        }
    }
    return ;
}
int main(){
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                scanf("%d",&c[i][j]);
        memset(head,-1,sizeof(head));tot=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(i==j) continue ;
                adde(i,j,c[i][j]);
            }
        }
        mn=INF;
        spfa(1);
        int tmp=mn,ans=INF;
        mn=INF;
        ans=d[n];
        spfa(n);
        ans=min(ans,mn+tmp);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}