题意：
对于一棵随机生成的(n)个结点的有根二叉树，计算叶子结点个数的期望。
思路：
显然根据期望的定义我们可以得到：假设(f(n))为(n)个结点的叶子个数和，(g(n))为(n)个结点时二叉树的个数，那么答案即为(displaystyle frac{g(n)}{f(n)})。
其中(displaystyle g(n)=sum_{i=0}^{n-1}g(i)cdot g(n-1-i))，显然为卡特兰数，即(displaystyle g(n)=frac{1}{n+1}cdot {2nchoose n})。
考虑怎么求(f(n):)
[f(n)=2cdotsum_{i=0}^{n-1}f(i)cdot g(n-1-i)
]
接下来考虑用生成函数求解有(displaystyle f=2x*f*g+x)，后面加上(x)是考虑(f(1)=1)的情况。
那么(displaystyle f=frac{x}{1-2x*g})，因为(g)的生成函数为(displaystyle frac{1-sqrt{1-4x}}{2x})，那么(displaystyle f=frac{x}{sqrt{1-4x}})。
然后将分母用广义牛顿二项式定理展开：
[egin{aligned}
frac{1}{sqrt{1-4x}}=&(1-4x)^{-frac{1}{2}}\
=&sum_{i=0}^{infin}{-frac{1}{2}choose i}(-4x)^i\
=&sum_{i=0}^{infin}frac{(-frac{1}{2})cdot (-frac{3}{2})cdots (-frac{2i-1}{2})}{i!}(-4)^ix^i\
=&sum_{i=0}^{infin}frac{1cdot 3cdots (2i-1)}{2^{i}cdot i!}4^ix^i\
=&sum_{i=0}^{infin}frac{(2i-1)!}{2^icdot i!cdot 2cdot 4cdots (2i-2)}4^ix^i\
=&sum_{i=0}^{infin}frac{(2i-1)!}{2^{2i-1}cdot i!cdot (i-1)!}4^ix^i\
=&sum_{i=0}^{infin}2cdot {2i-1choose i}x^i\
=&sum_{i=0}^{infin}{2ichoose i}x^i
end{aligned}
]
所以(f)的第(n)项系数即为(displaystyle{2i-2choose i-1})。
那么最终答案也很好求了，为(displaystylefrac{n(n+1)}{2(2n-1)})。
代码略。