Educational Codeforces Round 89 (Rated for Div. 2)

传送门
视频题解

A. Shovels and Swords

贪心。每次尽可能取较多那一边即可。
写法上可以加速，((2,1),(1,2))这种可以看作((3,3))，只取((1,2))这种解个方程即可。
代码如下：

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/11 22:36:15
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;

void run() {
    int a, b; cin >> a >> b;
    if (a > b) swap(a, b);
    int x = min(b / 2, min(a, b - a));
    b -= 2 * x;
    a -= x;
    int ans = x;
    int c = min(a, b);
    ans += c / 3 * 2;
    a -= c / 3 * 3;
    b -= c / 3 * 3;
    if (a > b) swap(a, b);
    for (int i = 3; i >= 0; i--) {
        if (i <= a && 2 * i <= b) {
            ans += i;
            break;   
        }
    }
    cout << ans << '
';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    int T; cin >> T; while(T--)
    run();
    return 0;
}

B. Shuffle

按题意模拟即可。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/11 22:44:42
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define l first
#define r second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;

void run() {
    int n, m, x;
    cin >> n >> x >> m;
    vector <pii> a(m);
    
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int l, r; cin >> l >> r;
        a[i] = MP(l, r);
    }
    
    int Min = x, Max = x;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        if (min(a[i].r, Max) >= max(a[i].l, Min)) {
            Min = min(a[i].l, Min);
            Max = max(a[i].r, Max);
        }
    }
    cout << Max - Min + 1 << '
';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    int T; cin >> T; while(T--)
    run();
    return 0;
}

C. Palindromic Paths

找出矩阵所有对称的斜线就行。代码中有些细节，边界情况要注意一下。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/11 22:55:58
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;

void run() {
    int n, m; cin >> n >> m;
    vector <vector <int>> a(n, vector <int>(m));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    int t = n + m - 1;
    int d = t / 2;
    int ans = 0;
    for (int k = 0; k < d; k++) {
        vector <vector <int>> cnt(2, vector <int>(2));
        int i = 0, j = k;
        if (j >= m) {
            i += j - m + 1;
            j = m - 1;
        }
        while (j >= 0 && i < n) {
            ++cnt[0][a[i][j]];
            ++i, --j;
        }
        i = n - 1, j = m - 1 - k;
        if (j < 0) {
            i += j;
            j = 0;
        }
        while (j < m && i >= 0) {
            ++cnt[1][a[i][j]];
            --i, ++j;
        }
        ans += min(cnt[0][0] + cnt[1][0], cnt[0][1] + cnt[1][1]);
    }
    cout << ans << '
';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    int T; cin >> T; while(T--)
    run();
    return 0;
}

D. Two Divisors

令(a_i=p_1^{q_1}*p_2^{q_2}*cdots *p_k^{q_k})构造(d_1=p_1^{q_1},d_2=frac{a_i}{d_1})就行。
因为有这个式子：

• 若(x,y)互质，则(gcd(x+y,xy)=1)。

证明的话视频里面有，主要就是用到两个关于(gcd)的性质：

• (gcd(a,b)=gcd(a+b,b));
• 若(gcd(a,c)=1)，则(gcd(a,bc)=gcd(a,b))。

代码如下：

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/11 23:23:11
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 5e5 + 5, M = 2e7 + 5;
 
int n;
 
int cnt;
int p[M];
bool chk[M];
void init() {
    for(int i = 2; i < M; i++) {
        if(!chk[i]) p[++cnt] = i;
        for(int j = 1; j <= cnt && 1ll * i * p[j] < M; j++) {
            chk[i * p[j]] = 1;
            if (i % p[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
} 
 
pii ans[N];
 
void run() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x; cin >> x;
        int tmp = x;
        vector <int> v;
        for (int j = 1; j <= cnt; j++) {
            if (1ll * p[j] * p[j] > x) {
                break;
            }
            if (x % p[j] == 0) {
                int t = 1;
                while (x % p[j] == 0) {
                    x /= p[j];
                    t *= p[j];
                }
                v.push_back(t);
            }
        }
        if (x > 1) {
            v.push_back(x);
        }
        if (sz(v) < 2) {
            v = {-1, -1};
        } else {
            v = {v[0], tmp / v[0]};
        }
        ans[i] = MP(v[0], v[1]);
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << ans[i].fi << " 
"[i == n];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << ans[i].se << " 
"[i == n];
    }
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    init();
    run();
    return 0;
}

E. Two Arrays

首先判掉不合法的情况，若对于(a_i=b_k)且此时(a_i)为最后一次出现，若(min{a_{i+1},cdots,a_n}<a_i)，那么就不合法。注意开头(a_1,cdots,a_j,a_j)为(b_1)的最后一次出现这段要特判。
之后对于(1,...,m-1)每一个区间找到尽量靠左边的右端点，那么很容易得知右端点的取值范围，只要后面的取值合法就行，之后把所有的这些区间乘起来就行。
上述过程可以二分、单调栈、模拟等多种方法解决。

还有一种比较巧妙的做法，就是维护序列(a)的后缀，所有后缀最小值相等的区间天然形成了一段合法的移动区间，我们对于每个(b_i)把个数乘起来就行。注意一下判断不合法的情况，前面说的在实现过程中乘起来直接等于(0)，不用特殊判断；但前面那一段无法确定，加上(suf_1 ot ={b_1})就行，这里大了小了都不满足条件。
细节见代码：

solution1

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/12 9:28:53
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5, MOD = 998244353;
 
void run() {
    int n, m; cin >> n >> m;
    vector <int> a(n), b(m);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> b[i];
    }
    vector <int> r(m, -1);
    for (int i = n - 1, j = m - 1; i >= 0; i--) {
        if (j >= 0 && a[i] == b[j]) {
            r[j] = i;
            --j;
        }
    }
    if (r[0] == -1) {
        cout << 0 << '
';
        return;
    }
    r.push_back(n);
    for (int i = 0; i < r[0]; i++) {
        if (a[i] < b[0]) {
            cout << 0 << '
';
            return;
        }
    }
    for (int j = 0; j < m; j++) {
        for (int i = r[j] + 1; i < r[j + 1]; i++) {
            if (a[i] < b[j]) {
                cout << 0 << '
';
                return;
            }
        }
    }
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < m - 1; i++) {
        int j = r[i + 1];
        while (j > r[i] && a[j] >= b[i + 1]) {
            --j;
        }
        ans = 1ll * ans * (r[i + 1] - j) % MOD;
    }
    cout << ans << '
';
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}

solution2

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/12 10:09:52
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5, MOD = 998244353;
 
void run() {
    int n, m; cin >> n >> m;
    vector <int> a(n), b(m);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> b[i];
    }
    vector <int> suf(n);
    suf[n - 1] = a[n - 1];
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
        suf[i] = min(a[i], suf[i + 1]);
    }
    if (suf[0] != b[0]) {
        cout << 0 << '
';
        return;
    }
    map <int, int> mp;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ++mp[suf[i]];
    }
    int ans = 1;
    for (int i = 1; i < m; i++) {
        ans = 1ll * ans * mp[b[i]] % MOD;
    }
    cout << ans << '
';
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}

F. Jog Around The Graph

题意：
给定一个(n)个点，(m)条边的无向带权图。
给定(q)，问(1leq ileq q)，从(1)出发经过(i)条边的最长路径为多少，记为(L(i))，可以经过重复的边。
输出(displaystylesum_{i=1}^qL(i))。
(n,mleq 2000,qleq 10^9)。

思路：
比较显然的一点是当(q)比较大时，我们显然的走法是在一条边上来回走。所以我们可以考虑分情况考虑：

• (ileq m)，我们可以直接暴力(dp)进行计算，类似于bellman-ford算法枚举边进行更新求最长路即可；
• (i> m)，显然后面的若干边反复横跳，主要处理这种情况。

将式子写出来，记(f_i(e,k))为我们通过(k)条边到(e_u)或者(e_v)，之后(i-k)条边反复横跳，那么：

• (displaystyle f_i(e,k)=max(d[u][k],d[v][k])+(i-k)cdot w(e))

显然一条边的贡献为(displaystyle f_i(e)=max_{k=1}^{n-1}{f_i(e,k)})，那么最终答案(ans_i=max_{e}f_i(e))。
那么现在处理(f_i(e,k))，我们可以写为：

• (displaystyle f_i(e,k)=max(d[u][k],d[v][k])-kcdot w(e)+icdot w(e))

可以看作一条直线，斜率为(w(e))，纵截距为(max(d[u][k],d[v][k])-kcdot w(e))。显然(f_i(e))只可能纵截距越大越优。
所以现在每个(f_e(i))因为边不同为若干直线，对于每个(i)我们只用取最上端的即可。
一般这种貌似求一个凸包就行，但这个题因为数据范围不是很大，我们可以直接暴力枚举，枚举每一条边在最上面所在的区间([l,r])，然后可以直接快速计算。
假设现在枚举(i)，考虑另外一个(j)，现在有直线(y_i=w(i)cdot i+b_i,y_jw(j)cdot j+b_j)，我们令(y_i>y_j)即可确定出一段区间。这个区间上下限会不断缩小，如果最终合法直接计算即可。
细节见代码，主要是思路，这种线段取最优的题在图论中貌似还是挺常见的。

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/17 18:34:51
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 2000 + 5, MOD = 1e9 + 7;
 
int n, m;
ll q;
int u[N], v[N], w[N];
 
ll dp[2][N], b[N];
int ans;
 
void run() {
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> u[i] >> v[i] >> w[i];
    }
    memset(dp, -INF, sizeof(dp));
    memset(b, -INF, sizeof(b));
    dp[0][1] = 0;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            dp[i & 1][u[j]] = max(dp[i & 1][u[j]], dp[(i - 1) & 1][v[j]] + w[j]);
            dp[i & 1][v[j]] = max(dp[i & 1][v[j]], dp[(i - 1) & 1][u[j]] + w[j]);
        }
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            b[j] = max(b[j], max(dp[i & 1][u[j]], dp[i & 1][v[j]]) - 1ll * i * w[j]);
        }
        ans = (ans + *max_element(dp[i & 1] + 1, dp[i & 1] + n + 1)) % MOD;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        ll l = n, r = q;
        for (int j = 1; l <= r && j <= m; j++) if (i != j) {
            ll K = w[i] - w[j];
            ll B = b[j] - b[i];
            if (K > 0) {
                l = max(l, B / K + 1);
            } else if (K < 0) {
                r = min(r, B / K);
            } else {
                if (!(B < 0 || (B == 0 && j > i))) {
                    r = -1;
                }
            }
        }
        if (l <= r) {
            ans = ((ll)ans + (l + r) * (r - l + 1) / 2 % MOD * w[i] % MOD + b[i] * (r - l + 1) % MOD) % MOD;
            if (ans < 0) ans += MOD;
        }
    }
    cout << ans << '
';
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}

G. Construct the String

题意：
给定(s,t)串。问最少删除几个字符使得(f(s)=t)。
(f)作用于(s)就类似于一个栈，依次考虑(s_i)，若(s_i ot ={"."})，那么直接将(s_i)拼接在答案串后面；否则删除后面一个字符，没有就不删除。
(n,mleq 10000)。

思路：
显然这种题考虑(dp)，因为(n,m)不算很大，并且时限比较宽松，所以可以考虑(O(nm))的做法，只要常数不太大就行。
那么定义(dp[i][j])表示(s)匹配到了(i)，(t)匹配到了(j)的最小删除个数。
显然我们要考虑几种情况：

• 直接匹配，向(dp[i+1][j+1])转移；
• 删除(s_i)，向(dp[i+1][j])转移；
• 保留字符，可能会有两种情况，一种是向(dp[i+1][j])转移，另一种是向(dp[i+1][j-1])转移。

第三种转移情况不好处理，因为我们可能会存在保留若干个，中间会删除某些，并且回退的情况，直接这样(dp)是无能为力的。
注意我们保留字符时，这个字符最后是一定要被删掉的（否则就匹配，第一种考虑了），那么我们直接找到一个最近的位置满足这段刚好能被自己删除就行，也就是说我们往(dp[i+next[i]][j])转移。

• 为什么直接往最近转移最优？因为后面的情况我们也能从(dp[i+next[i]][j])转移过去，所以一定不会差。
• 为什么这样转移是正确的？考虑刚刚说的那种情况，要在中间删除一些，那么这种其实先删除(s_i)是等价的。这时我们像(dp[i+1][j])转移即可。

所以第三种情况我们可以直接向(nxt[i])转移，并且能保证(dp)正确性。
这个题感觉第三种情况的转换这里还是挺巧妙的，很多时候(dp)都要发现题目中隐含的信息，这样能够简化(dp)的转移。
代码不难：

Code

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2020/6/18 10:42:35
 */
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <iomanip>
#include <assert.h>
#include <functional>
#include <numeric>
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define sz(x) (int)(x).size()
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Local
#ifdef Local
  #define dbg(args...) do { cout << #args << " -> "; err(args); } while (0)
  void err() { std::cout << std::endl; }
  template<typename T, typename...Args>
  void err(T a, Args...args) { std::cout << a << ' '; err(args...); }
  template <template<typename...> class T, typename t, typename... A> 
  void err(const T <t> &arg, const A&... args) {
  for (auto &v : arg) std::cout << v << ' '; err(args...); }
#else
  #define dbg(...)
#endif
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
//head
const int N = 1e5 + 5;

void run() {
    string s, t;
    cin >> s >> t;
    int n = s.length(), m = t.length();
    vector <int> nxt(n, -1);
    for (int i = 0; i < n; i++) if (s[i] != '.') {
        int t = 0;
        for (int j = i; j < n; j++) {
            if (s[j] != '.') ++t;
            else --t;
            if (t == 0) {
                nxt[i] = j;
                break;
            }
        }
    }
    vector <vector <int>> dp(n + 1, vector <int>(m + 1, INF));
    dp[0][0] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            //match
            if (j < m && s[i] == t[j]) {
                dp[i + 1][j + 1] = min(dp[i + 1][j + 1], dp[i][j]);
            }
            //skip
            dp[i + 1][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j] + 1);
            //forward & back
            if (s[i] != '.' && nxt[i] != -1) {
                dp[nxt[i] + 1][j] = min(dp[nxt[i] + 1][j], dp[i][j]);
            }
        }
    }
    cout << dp[n][m] << '
';
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cout << fixed << setprecision(20);
    run();
    return 0;
}