【BZOJ3144】[HNOI2013]切糕
题面
题目描述
经过千辛万苦小 A 得到了一块切糕，切糕的形状是长方体，小 A 打算拦腰将切糕切成两半分给小 B。出于美观考虑，小 A 希望切面能尽量光滑且和谐。于是她找到你，希望你能帮她找出最好的切割方案。
出于简便考虑，我们将切糕视作一个长 P、宽 Q、高 R 的长方体点阵。我们将位于第 z层中第 x 行、第 y 列上(1≤x≤P, 1≤y≤Q, 1≤z≤R)的点称为(x,y,z)，它有一个非负的不和谐值 v(x,y,z)。一个合法的切面满足以
下两个条件：
1.与每个纵轴(一共有 P*Q 个纵轴)有且仅有一个交点。即切面是一个函数 f(x,y)，对于所有 1≤x≤P, 1≤y≤Q,我们需指定一个切割点 f(x,y),且 1≤f(x,y)≤R。
2.切面需要满足一定的光滑性要求，即相邻纵轴上的切割点不能相距太远。对于所有的 1≤x,x’≤P 和 1≤y,y’≤Q，若|x-x’|+|y-y’|=1，则|f(x,y)-f(x’,y’)| ≤D，其中 D 是给定的一个非负整数。 可能有许多切面f 满足上面
的条件，小A 希望找出总的切割点上的不和谐值最小的那个。
输入格式
第一行是三个正整数P,Q,R，表示切糕的长P、 宽Q、高R。第二行有一个非负整数D，表示光滑性要求。接下来是R个P行Q列的矩阵，第z个 矩阵的第x行第y列是v(x,y,z) (1<=x<=P, 1<=y<=Q, 1<=z<=R)。 100%的数据满足P,Q,R<=40，0<=D<=R，且给出的所有的不和谐值不超过1000。
输出格式
仅包含一个整数，表示在合法基础上最小的总不和谐值。
样例
输入样例
2 2 2
1
6 1
6 1
2 6
2 6
输出样例
6
说明
最佳切面的f为f(1,1)=f(2,1)=2,f(1,2)=f(2,2)=1
题解
注意题目第一句话：
经过千辛万苦小 A 得到了一块切糕
说到千辛万苦，我就想起了师徒四人去取经，今年下半年
中美，合拍，文体，开花 谢谢!!!
23333333
Q:当我们没有那个光滑度限制时怎么做呢？
A:每一个纵轴取max
A:往上新建一层(R+1)，(S)连向第一层每个点的容量为(infty)的边，第(R+1)层每个点向(T)连容量为(infty)的边，对于(forall 1leq kleq R)，每个((i,j,k))向((i,j,k+1))连容量为(v_{i,j,k})的边，再求最小割即可。
接下来考虑有光滑度限制的情况：
我们的限制条件是：
对(|x-i|+|y-j|=1)有(f(x,y)-f(i,j)leq D)。
实际上就是要求(f(x,y)-f(i,j)>D)时，(S)可以到达(T)
那么直接由距离为(1)的两个点((x,y),(i,j))
对于(forall D+1leq kleq R+1)，连((i,j,k-D) ightarrow(x,y,k)(cap=infty))
最后跑最小割即可
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAX_N = 50;
const int MAX_V = MAX_N * MAX_N * MAX_N;
const int INF = 1e9;
struct Graph { int to, cap, next; } e[MAX_V << 2]; int fir[MAX_V], e_cnt, V;
void clearGraph() { memset(fir, -1, sizeof(fir)); e_cnt = 0; }
void Add_Edge(int u, int v, int c) {
e[e_cnt] = (Graph){v, c, fir[u]}, fir[u] = e_cnt++;
e[e_cnt] = (Graph){u, 0, fir[v]}, fir[v] = e_cnt++;
}
int level[MAX_V], iter[MAX_V];
void bfs(int s) {
static queue<int> que; fill(&level[0], &level[V + 1], -1);
que.push(s), level[s] = 0;
while (!que.empty()) {
int x = que.front(); que.pop();
for (int i = fir[x]; ~i; i = e[i].next) {
int v = e[i].to;
if (level[v] == -1 && e[i].cap > 0) level[v] = level[x] + 1, que.push(v);
}
}
}
int dfs(int x, int t, int f) {
if (x == t || !f) return f;
for (int &i = iter[x]; ~i; i = e[i].next) {
int v = e[i].to;
if (e[i].cap > 0 && level[v] > level[x]) {
int d = dfs(v, t, min(f, e[i].cap));
if (d != 0) {
e[i].cap -= d;
e[i ^ 1].cap += d;
return d;
} else level[v] = -1;
}
}
return 0;
}
int max_flow(int s, int t) {
int flow = 0;
for (;;) {
bfs(s);
if (level[t] == -1) return flow;
int f;
for (int i = 0; i <= V; i++) iter[i] = fir[i];
while ((f = dfs(s, t, INF))) flow += f;
}
}
int P, Q, R, D, a[MAX_N][MAX_N][MAX_N];
const int dx[] = {-1, 1, 0, 0}, dy[] = {0, 0, -1, 1};
int main () {
clearGraph();
scanf("%d%d%d%d", &P, &Q, &R, &D);
for (int k = 1; k <= R; k++)
for (int i = 1; i <= P; i++)
for (int j = 1; j <= Q; j++)
scanf("%d", &a[i][j][k]);
int s = 0, t = P * Q * (R + 1) + 1; V = t;
for (int i = 1; i <= P; i++)
for (int j = 1; j <= Q; j++) {
int x = (i - 1) * Q + j + 1;
Add_Edge(s, x, INF);
for (int k = 1; k <= R; k++) Add_Edge(P * Q * (k - 1) + x, P * Q * k + x, a[i][j][k]);
Add_Edge(P * Q * R + x, t, INF);
}
for (int i = 1; i <= P; i++)
for (int j = 1; j <= Q; j++)
for (int h = 0; h < 4; h++) {
int x = i + dx[h], y = j + dy[h];
if (x < 1 || x > P || y < 1 || y > Q) continue;
for (int k = D + 1; k <= R + 1; k++)
Add_Edge(P * Q * (k - 1) + (i - 1) * Q + j + 1, P * Q * (k - D - 1) + (x - 1) * Q + y + 1, INF);
}
printf("%d
", max_flow(s, t));
return 0;
}